Question

（2007•鄭州模擬）如圖，在平面直角坐標系中，B點在x軸的正半軸上，以OB為直徑的半圓⊙A與直線BC切于B點，∠COB=30°，且OC交半圓⊙A于點D．
（1）求直線OC的解析式；
（2）若半圓⊙A的直徑為2，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)銳角三角函數(shù)表示出C點橫縱坐標，進而代入解析式得出k的值即可；
（2）根據(jù)圓的直徑為2，分別得出S_△OBC，S_△ODA，S_扇形DAB，再利用S_陰影=S_△OBC-S_△ODA-S_扇形DAB求出即可．

解答：解：（1）設直線OC的解析式為y=kx，設C點橫坐標為a，則OB=a．
∵∠COB=30°，∴BC=atan30°=

3

3

a，
∴C（a，

3

3

a），
∴

3

3

a=ak，
∴k=

3

3

，
故y=

3

3

x；

（2）過A作AE⊥OD，垂足為E．
∵⊙A的直徑為2，∴C點的坐標為（2，

2 3

3

），
則BC=

2 3

3

．連接DA，則∠DAB=2∠AOC=60°，
S_扇形DAB=

60π×12

360

=

1

6

π，
則AE=

1

2

OA=

1

2

，OE=

3

AE=

3

2

，
∵OE=DE，
∴OD=

3

，
S_△ODA=

1

2

3

×

1

2

=

1

4

3

，
則S_陰影=S_△OBC-S_△ODA-S_扇形DAB=

5

12

3

-

1

6

π．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及扇形面積求法和一次函數(shù)解析式求法等知識，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出C點坐標是解題關鍵．