Question

如圖，AB是⊙O的弦，D為OA半徑的中點，過D作CD⊥OA交弦AB于點E，交⊙O于點F，且CE=CB．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）連接AF，BF，求∠ABF的度數(shù)；

（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半徑．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析（2）30°（3）

【解析】解：（1）證明：連接OB，

∵OB=OA，CE=CB，

∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC。

又∵CD⊥OA，

∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°。

∴∠OBA+∠ABC=90°。∴OB⊥BC。

∴BC是⊙O的切線。

（2）連接OF，AF，BF，

∵DA=DO，CD⊥OA，

∴△OAF是等邊三角形。

∴∠AOF=60°。

∴∠ABF=∠AOF=30°。

（3）過點C作CG⊥BE于點G，由CE=CB，

∴EG=BE=5。

易證Rt△ADE∽Rt△CGE，

∴sin∠ECG=sin∠A=，

∴。

∴。

又∵CD=15，CE=13，∴DE=2，

由Rt△ADE∽Rt△CGE得，即，解得。

∴⊙O的半徑為2AD=。

（1）連接OB，有圓的半徑相等和已知條件證明∠OBC=90°即可證明BC是⊙O的切線。

（2）連接OF，AF，BF，首先證明△OAF是等邊三角形，再利用圓周角定理：同弧所對的圓周角是所對圓心角的一半即可求出∠ABF的度數(shù)。

（3）過點C作CG⊥BE于點G，由CE=CB，可求出EG=BE=5，由Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的長，從而求出⊙O的半徑。