Question

【題目】如圖1，拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A(- 4，0)和點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C(0，4)．

(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖2，設(shè)點(diǎn)Q是線(xiàn)段AC上的一動(dòng)點(diǎn)，作DQ⊥x軸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，當(dāng)△ADC面積有最大值時(shí)，在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)M，使DM+AM的值最小，求出此時(shí)M的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)Q在直線(xiàn)AC上的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)Q，使△BQC為等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(，5)；(3)存在，Q(，)或(，)或(-3，1)或().

【解析】

（1）將A(- 4，0)、C(0，4)代入y=﹣x2+bx+c中即可得；

（2）直線(xiàn)AC的解析式為：，表達(dá)出DQ的長(zhǎng)度，及△ADC的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出△ADC面積的最大值，從而得出D點(diǎn)坐標(biāo)，作點(diǎn)D關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，確定點(diǎn)M，使DM+AM的值最��；

（3）△BQC為等腰三角形，則表達(dá)出三邊，并對(duì)三邊進(jìn)行分類(lèi)討論，計(jì)算得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

解：(1)將A(- 4，0)、C(0，4)代入y=﹣x2+bx+c中得

，解得 ，

∴，

(2)直線(xiàn)AC的解析式為：

設(shè)Q(m，m+4) ，則 D(m，)

DQ=()- (m+4)=

當(dāng)m=-2時(shí)，面積有最大值

此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(-2，6)，D點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)D1(-1，6)

直線(xiàn)AD1的解析式為：

當(dāng)時(shí)，

所以，點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(，5)

(3)∵，

∴設(shè)Q(t,t+4)，

由得，，

∴B(1,0)，

∴

,

△BQC為等腰三角形

①當(dāng)BC=QC時(shí)，則，∴此時(shí)，

∴Q(，)或(，)；

②當(dāng)BQ=QC時(shí)，則，解得，

∴Q()；

③當(dāng)BQ=BC時(shí)，則，解得t=-3,

∴Q(-3，1)；

綜上所述，若△BQC為等腰三角形，則

Q(，)或(，)或(-3，1)或().