【題目】如圖,點A,B,C都在拋物線y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5(其中﹣<a<0)上,AB∥x軸,∠ABC=135°,且AB=4.
(1)填空:拋物線的頂點坐標為 (用含m的代數(shù)式表示);
(2)求△ABC的面積(用含a的代數(shù)式表示);
(3)若△ABC的面積為2,當2m﹣5≤x≤2m﹣2時,y的最大值為2,求m的值.
【答案】(1)(m,2m﹣5);(2)S△ABC =﹣;(3)m的值為或10+2.
【解析】(1)利用配方法將二次函數(shù)解析式由一般式變形為頂點式,此題得解;
(2)過點C作直線AB的垂線,交線段AB的延長線于點D,由AB∥x軸且AB=4,可得出點B的坐標為(m+2,4a+2m5),設BD=t,則點C的坐標為(m+2+t,4a+2m5t),利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出關于t的一元二次方程,解之取其正值即可得出t值,再利用三角形的面積公式即可得出S△ABC的值;
(3)由(2)的結(jié)論結(jié)合S△ABC=2可求出a值,分三種情況考慮:①當m>2m2,即m<2時,x=2m2時y取最大值,利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出關于m的一元二次方程,解之可求出m的值;②當2m5≤m≤2m2,即2≤m≤5時,x=m時y取最大值,利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出關于m的一元一次方程,解之可求出m的值;③當m<2m5,即m>5時,x=2m5時y取最大值,利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出關于m的一元一次方程,解之可求出m的值.綜上即可得出結(jié)論.
(1)∵y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5=a(x﹣m)2+2m﹣5,
∴拋物線的頂點坐標為(m,2m﹣5),
故答案為:(m,2m﹣5);
(2)過點C作直線AB的垂線,交線段AB的延長線于點D,如圖所示,
∵AB∥x軸,且AB=4,
∴點B的坐標為(m+2,4a+2m﹣5),
∵∠ABC=135°,
∴設BD=t,則CD=t,
∴點C的坐標為(m+2+t,4a+2m﹣5﹣t),
∵點C在拋物線y=a(x﹣m)2+2m﹣5上,
∴4a+2m﹣5﹣t=a(2+t)2+2m﹣5,
整理,得:at2+(4a+1)t=0,
解得:t1=0(舍去),t2=﹣,
∴S△ABC=ABCD=﹣;
(3)∵△ABC的面積為2,
∴﹣=2,
解得:a=﹣,
∴拋物線的解析式為y=﹣(x﹣m)2+2m﹣5.
分三種情況考慮:
①當m>2m﹣2,即m<2時,有﹣(2m﹣2﹣m)2+2m﹣5=2,
整理,得:m2﹣14m+39=0,
解得:m1=7﹣(舍去),m2=7+(舍去);
②當2m﹣5≤m≤2m﹣2,即2≤m≤5時,有2m﹣5=2,解得:m=;
③當m<2m﹣5,即m>5時,有﹣(2m﹣5﹣m)2+2m﹣5=2,
整理,得:m2﹣20m+60=0,
解得:m3=10﹣2(舍去),m4=10+2.
綜上所述:m的值為或10+2.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,∠1=∠2.求證:∠3 +∠4=180°.
證明:∵∠1=∠2(已知)
∴ a∥b( )
∴∠3 +∠5=180° (兩直線平行,同旁內(nèi)角互補)
又 ∵∠4=∠5 ( )
∴∠3 +∠4=180° (等量代換)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】閱讀理解:
材料一:對于一個兩位數(shù),交換它的個位和十位數(shù)字得到的新數(shù)叫這個兩位數(shù)的“倒序數(shù)”.如:23的倒序數(shù)是32,50的倒序數(shù)是05.
材料二:對于一個兩位數(shù),若它的個位數(shù)字與十位數(shù)字的和小于等于9,則把個位數(shù)字與十位數(shù)字的和插入到這個兩位數(shù)中間得到的新數(shù)叫這個兩位數(shù)的“凸數(shù)”.如23的凸數(shù)是253.
(1)請求出42的“倒序數(shù)”與“凸數(shù)”;38有“凸數(shù)”嗎?為什么?
(2)若一個兩位數(shù)與它的“倒序數(shù)”的和的4倍比這個兩位數(shù)的“凸數(shù)”小132,請求出這個兩位數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,∠BAD=90°,點E在BC的延長線上,且∠DEC=∠BAC.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若AC∥DE,當AB=8,CE=2時,求AC的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,E是AB邊的中點,沿EC對折矩形ABCD,使B點落在點P處,折痕為EC,連結(jié)AP并延長AP交CD于F點,連結(jié)CP并延長CP交AD于Q點.給出以下結(jié)論:
①四邊形AECF為平行四邊形;
②∠PBA=∠APQ;
③△FPC為等腰三角形;
④△APB≌△EPC.
其中正確結(jié)論的個數(shù)為( 。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了解某市的空氣質(zhì)量情況,從環(huán)境監(jiān)測網(wǎng)隨機抽取了若干天的空氣質(zhì)量情況作為樣本進行統(tǒng)計,繪制了如圖所示的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖(部分信息未給出).請你根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)通過計算補全條形統(tǒng)計圖;
(2)求扇形統(tǒng)計圖中表示“輕度污染”的扇形的圓心角度數(shù);
(3)請估計我市這一年(365天)達到“優(yōu)”和“良”的總天數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】閱讀下面材料:
在數(shù)軸上5與所對的兩點之間的距離:;
在數(shù)軸上與3所對的兩點之間的距離:;
在數(shù)軸上與所對的兩點之間的距離:;
在數(shù)軸上點、分別表示數(shù)、,則、兩點之間的距離
回答下列問題:
(1)數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是_________;
數(shù)軸上表示數(shù)和3的兩點之間的距離表示為_________;
數(shù)軸上表示數(shù)_______和________的兩點之間的距離表為;
(2)七年級研究性學習小組在數(shù)學老師指導下,對式子進行探究:
①請你借助于數(shù)軸進行探究:當表示數(shù)的點在與3之間移動時,的值總是一個固定的值為:____________.
②請你借助于數(shù)軸進行探究:如果要使,那么數(shù)軸上表示點的數(shù)__________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,三角形紙片ABC中,∠A=65°,∠B=75°,將∠C沿DE對折,使點C落在ΔABC外的點處,若∠1=20°,則∠2的度數(shù)為( )
A. 80°B. 90°
C. 100°D. 110°
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