Question

如圖，△AOB的頂點A、B在二次函數(shù)的圖象上，又點A、B分別在y軸和x軸上，tan∠ABO=1．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）過點A作AC∥BO交上述函數(shù)圖象于點C，點P在上述函數(shù)圖象上，當(dāng)△POC與△ABO相似時，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵點A在二次函數(shù)的圖象上，…
在Rt△AOB中，∠AOB=90°
∵，
∵，
∴…
∵點B在二次函數(shù)的圖象上
∴
∴…
∴…

（2）∵AC∥BO交上述函數(shù)圖象于點C，
∴設(shè)…
∴，
解得，
∵…
∴，
根據(jù)勾股定理得：，
設(shè)拋物線與x軸的另一交點為D，
可得，D（3，0）…
∴根據(jù)兩點間的距離公式得：，又OD=3，OC=，
∴OC²+CD²=OD²，∴∠OCD=90°…
易得，Rt△OCA∽Rt△ABO，Rt△ODC∽Rt△ABO…
此時D，P重合，A與P重合，
∴或P（3，0）…．
分析：（1）首先根據(jù)函數(shù)解析式求出A的坐標(biāo)，然后得到AO的長度，接著利用三角函數(shù)的定義求出BO的長度，也就得到B的坐標(biāo)，最后代入解析式即可求出函數(shù)的解析式；
（2））首先由AC∥BO交上述函數(shù)圖象于點C可以求出C的坐標(biāo)，接著得到AC、AO、OC的長度，由此也可以求出b的值，根據(jù)拋物線的對稱性可以求出拋物線與x軸的另一交點為D的坐標(biāo)，從而得到CD的長度，接著利用勾股定理的逆定理證明∠OCD=90°，易得Rt△OCA∽Rt△ABO，Rt△ODC∽Rt△ABO，求出P的坐標(biāo)．
點評：此題是二次函數(shù)的綜合題，分別考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)及三角函數(shù)的定義，對于學(xué)生綜合分析問題的能力要求比較高，平時要加強(qiáng)訓(xùn)練．