已知一個直角三角形紙片OAB,其中∠AOB=90°,OA=2,OB=4.如圖,將該紙片放置在平面直角坐標系中,折疊該紙片,折痕與邊OB交于點C,與邊AB交于點D.
(Ⅰ)若折疊后使點B與點A重合,求點C的坐標;
(Ⅱ)若折疊后點B落在邊OA上的點為B′,設(shè)OB′=x,OC=y,試寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并確定y的取值范圍;
(Ⅲ)若折疊后點B落在邊OA上的點為B″,且使B″D∥OB,求此時點C的坐標.

【答案】分析:(Ⅰ)因為折疊后點B與點A重合,那么BC=AC,可先設(shè)出C點的坐標,然后表示出BC,AC,在直角三角形OCA中,根據(jù)勾股定理即可求出C點的縱坐標,也就求出了C點的坐標;
(Ⅱ)方法同(Ⅰ)用OC表示出BC,B′C然后在直角三角形OB′C中根據(jù)勾股定理得出x,y的關(guān)系式.由于B′在OA上,因此有0≤x≤2,由此可求出y的取值范圍;
(Ⅲ)根據(jù)(Ⅰ)(Ⅱ)的思路,應(yīng)該先得出OB″,OC的關(guān)系,知道OA,OB的值,那么可以通過證Rt△COB″∽Rt△BOA來實現(xiàn).∠B″CO和∠CB″D是平行線B″D,OB的內(nèi)錯角,又因為∠OBA=∠CB″D,因此∠B″CO=∠OBA,即CB″∥BA,由此可得出兩三角形相似,得出OC,OB″的比例關(guān)系,然后根據(jù)(1)(2)的思路,在直角三角形OB″C中求出OC的值,也就求出C點的坐標了.
解答:解:(Ⅰ)如圖①,折疊后點B與點A重合,則△ACD≌△BCD.
設(shè)點C的坐標為(0,m)(m>0),則BC=OB-OC=4-m.
∴AC=BC=4-m.
在Rt△AOC中,由勾股定理,AC2=OC2+OA2,
即(4-m)2=m2+22,解得m=
∴點C的坐標為(0,);

(Ⅱ)如圖②,折疊后點B落在OA邊上的點為B′,
∴△B′CD≌△BCD.
∵OB′=x,OC=y,
∴B'C=BC=OB-OC=4-y,
在Rt△B′OC中,由勾股定理,得B′C2=OC2+OB′2
∴(4-y)2=y2+x2
即y=-x2+2.
由點B′在邊OA上,有0≤x≤2,
∴解析式y(tǒng)=-x2+2(0≤x≤2)為所求.
∵當0≤x≤2時,y隨x的增大而減小,
∴y的取值范圍為≤y≤2;

(Ⅲ)如圖③,折疊后點B落在OA邊上的點為B″,且B″D∥OC.
∴∠OCB″=∠CB″D.
又∵∠CBD=∠CB″D,
∴∠OCB″=∠CBD,
∵CB″∥BA.
∴Rt△COB″∽Rt△BOA.

∴OC=2OB″.
在Rt△B″OC中,
設(shè)OB″=x(x>0),則OC=2x
由(Ⅱ)的結(jié)論,得2x=-x2+2,
解得x=-8±4
∵x>0,
∴x=-8+4
∴點C的坐標為(0,8-16).
點評:本題綜合考查了運用軸對稱、相似三角形的性質(zhì)和勾股定理的知識進行計算的能力.折疊型動態(tài)問題是近年來中考試題中的熱點問題,它可以考查學(xué)生的綜合能力,如想象能力、動手操作及創(chuàng)新意識能力等等,對于這類問題,通常從原圖中選取滿足條件的基本圖形進行分析、解決問題.
練習(xí)冊系列答案
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22、如圖,方格紙中每個小正方形的邊長都是單位1.
(1)平移已知直角三角形,使直角頂點與點O重合,畫出平移后的三角形;
(2)將平移后的三角形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形;
(3)在方格紙中任作一條直線作為對稱軸,畫出(1)和(2)所畫圖形的軸對稱圖形,得到一個美麗的圖案.

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例如,已知兩條直角邊a=3,b=4,求斜邊。
先將上尺的0與下尺的3對齊,在上尺找到4,4在下尺所對的數(shù)5,便是所求的c的長。
如果已知斜邊c=5,一條直角邊a=3,求另一條直角邊,仍然是先將上尺的0與下尺的3對齊,然后在下尺上找到5,5在上尺上所對的數(shù),就是另一條直角邊的長。
請你用勾股計算尺,求一條直角邊長是5,斜邊長為13的直角三角形的另一條直角邊長。

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