Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA在x軸上，頂點(diǎn)B（4，2）在拋物線y=ax²+bx上，且拋物線交x軸于另一點(diǎn)D（6，0）．
（1）則a=-$\frac{1}{4}$，b=$\frac{3}{2}$；
（2）已知E為BC邊上一個動點(diǎn)（不與B、C重合），連結(jié)AE交OB于點(diǎn)P，過點(diǎn)E作y軸的平行線分別交拋物線、直線OB于F、G．
①求線段FG的最大值，此時△PFG的面積為$\frac{1}{3}$；
②若以點(diǎn)O為圓心，OP為半徑作⊙O，試判斷直線AE與⊙O的能否相切？若能請求出E點(diǎn)坐標(biāo)，若不能請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把B與D坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a與b的值即可；
（2）①設(shè)出E坐標(biāo)為（e，2），根據(jù)EG與y軸平行，表示出F與G坐標(biāo)，進(jìn)而表示出FG，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出FG最大值，以及此時e的值，確定出E坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AE解析式，與直線OB聯(lián)立求出交點(diǎn)P坐標(biāo)，進(jìn)而確定出此時三角形PFG面積即可；
②當(dāng)AE⊥OB，垂足為P時，以點(diǎn)O為圓心，OP為半徑作⊙O，直線AE與⊙O相切，如圖所示，根據(jù)直線OB解析式確定出直線AE解析式，進(jìn)而求出垂足P坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）把B（4，2）與D（6，0）分別代入拋物線y=ax²+bx得：$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=2}\\{36a+6b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
故答案為：-$\frac{1}{4}$；$\frac{3}{2}$；
（2）①由（1）得到拋物線解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x，
設(shè)直線OB解析式為y=kx，
把B（4，2）代入得：k=$\frac{1}{2}$，即直線BC解析式為y=$\frac{1}{2}$x，
設(shè)E（e，2），則有F（e，-$\frac{1}{4}$e²+$\frac{3}{2}$e），G（e，$\frac{1}{2}$e），
∴FG=-$\frac{1}{4}$e²+$\frac{3}{2}$e-$\frac{1}{2}$e=-$\frac{1}{4}$e²+e=-$\frac{1}{4}$（e-2）²+1，
當(dāng)e-2=0，即e=2時，F(xiàn)G取得最大值，最大值為1；
此時E（2，2），
設(shè)直線AE解析式為y=mx+n，
把A（4，0），E（2，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=0}\\{2m+n=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=4}\end{array}\right.$，即直線AE解析式為y=-x+4，
與y=$\frac{1}{2}$x聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，即P（$\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$），
則S_△PFG=$\frac{1}{2}$×1×（$\frac{8}{3}$-2）=$\frac{1}{3}$；
故答案為：$\frac{1}{3}$；
②當(dāng)AE⊥OB，垂足為P時，以點(diǎn)O為圓心，OP為半徑作⊙O，直線AE與⊙O相切，如圖所示，

∵直線OB解析式為y=$\frac{1}{2}$x，AE⊥OB，且A（4，0），
∴直線AE解析式為y=-2（x-4）=-2x+8，
與y=$\frac{1}{2}$x聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+8}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{16}{5}}\\{y=\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，
則此時P坐標(biāo)為（$\frac{16}{5}$，$\frac{8}{5}$）．

點(diǎn)評 此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，以及矩形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．