Question

如圖所示的晾衣架，支架主視圖的基本圖形是菱形，其示意圖如圖2，晾衣架伸縮時(shí)，點(diǎn)G在射線DP上滑動(dòng)，∠CED的大小也隨之發(fā)生變化，已知每個(gè)菱形邊長(zhǎng)均等于20cm，且AH=DE=EG=20cm．

（1）當(dāng)∠CED=60°時(shí)，求C、D兩點(diǎn)間的距離；

（2）當(dāng)∠CED由60°變?yōu)?20°時(shí)，點(diǎn)A向左移動(dòng)了多少cm？（結(jié)果精確到0.1cm）

（3）設(shè)DG=xcm，當(dāng)∠CED的變化范圍為60°～120°（包括端點(diǎn)值）時(shí)，求x的取值范圍．（結(jié)果精確到0.1cm）（參考數(shù)據(jù)≈1.732）

Answer 1

（1）20cm；（2）43.9cm；（3）20cm≤x≤34.6cm．

【解析】

試題分析：（1）連接CD．可證△CED是等邊三角形，所以CD=DE=20cm；（2）當(dāng)∠CED=60°時(shí)，AD=3CD=60cm，當(dāng)∠CED=120°時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD于H，然后利用特殊角的三角函數(shù)可求AD=3×20=60≈103.9（cm），103.9﹣60=43.9（cm）．即點(diǎn)A向左移動(dòng)的距離；（3）當(dāng)∠CED=120°時(shí)，DG=DE=20cm，當(dāng)∠CED=60°時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EI⊥DG于點(diǎn)I，然后利用直角三角形可求DG=2DI=20≈34.6cm．所以20cm≤x≤34.6cm．

試題解析：【解析】
（1）連接CD．

∵CE=DE，∠CED=60°，∴△CED是等邊三角形，∴CD=DE=20cm； 2分

（2）根據(jù)題意得：AB=BC=CD，當(dāng)∠CED=60°時(shí)，AD=3CD=60cm， 4分

當(dāng)∠CED=120°時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD于H（圖2），則∠CEH=60°，CH=HD．

在直角△CHE中，sin∠CEH=，∴CH=20sin60°=20×=10（cm），

∴CD=20cm，∴AD=3×20=60≈103.9（cm）．

∴103.9﹣60=43.9（cm）．即點(diǎn)A向左移動(dòng)了43.9cm； 7分

（3）當(dāng)∠CED=120°時(shí)，∠DEG=60°，∵DE=EG，∴△DEG是等邊三角形．

∴DG=DE=20cm， 8分

當(dāng)∠CED=60°時(shí)，則有∠DEG=120°，過(guò)點(diǎn)E作EI⊥DG于點(diǎn)I．

∵DE=EG，∴∠DEI=∠GEI=60°，DI=IG，在直角△DIE中，sin∠DEI=，

∴DI=DEsin∠DEI=20×sin60°=20×=10cm．∴DG=2DI=20≈34.6cm．

則x的范圍是：20cm≤x≤34.6cm． 12分

考點(diǎn)：1.等邊三角形的判定與性質(zhì)；2.解直角三角形的應(yīng)用.