Question

我市某地為了貫徹落實“森林重慶”，深入開展“綠化長江---重慶行動”．現(xiàn)決定對該地區(qū)培育種植樹苗的農民實行政府補貼，規(guī)定每種植一畝樹苗一次性補貼農民若干元，隨著補貼數(shù)額的不斷增大，生產(chǎn)規(guī)模也不斷增加，但每畝樹苗的收益會相應降低．經(jīng)調查，種植畝數(shù)y（畝）、每畝樹苗的收益z（元）與補貼數(shù)額x（元）之間的一次函數(shù)關系如下表：

x（元）	0	100	200	300	…
y（畝）	800	1600	2400	3200	…
z（元）	3000	2700	2400	2100	…

（1）分別求出政府補貼政策實施后種植畝數(shù)y、每畝樹苗的收益z與政府補貼數(shù)額x之間的函數(shù)關系式：
（2）要使該地區(qū)種植樹苗的總收益w（元）最大，政府應將每畝補貼數(shù)額x定為多少？并求出總收益w的最大值和此時種植的畝數(shù)；（總收益=種植畝數(shù)×每畝樹苗的收益）
（3）在取得最大收益的情況下，經(jīng)市場調查，培育種植水果類樹苗經(jīng)濟效益更好．今年該地區(qū)決定用種植樹苗總面積m%的土地種植水果類樹苗，因環(huán)境和經(jīng)濟等因素的制約，種植水果類樹苗的面積不超過300畝．經(jīng)測算，種植水果類樹苗需用的支架、塑料膜等材料每畝費用為2700元，此外還需購置噴灌設備，這項費用（元）與種植水果類樹苗面積（畝）的平方成正比例，比例系數(shù)9．預計今年種植水果類樹苗后的這部分土地的收益比沒種前的收益每畝增加了7500元，這樣，該地區(qū)今年因種植水果類樹苗而增加的收益（扣除材料費和設備費后）共570000元，求m的值．（結果精確到個位，參考數(shù)據(jù)：

7

≈2.648，

11

≈3.316）．

Answer 1

分析：（1）結合表格設函數(shù)解析式，把已知坐標代入解析式求解即可；
（2）由1可知函數(shù)解析式，用配方法解出二次函數(shù)的最大值即可；
（3）表示出種植水果類樹苗的畝數(shù)為4400m%，列方程解出m值，進而得出答案．

解答：解：（1）由表格知，y與x，z與x均成一次函數(shù)關系．
設y=kx+a，將（0，800）、（100，1600）代入：

a=800 100k+a=1600

，
解得

k=8 a=800

，
∴y=8x+800；
設z=k₁x+b，
將（0，3000）、（100，2700）代入：

b=3000 100k1+b=2700

，
解得

k1=-3 b=3000

．
∴z=-3x+3000；

（2）w=yz=（8x+800）（-3x+3000）=-24（x-450）²+7260000，
∴當x=450時w取得最大值7260000，y=8×450+800=4400，
答：政府每畝補貼450元可獲得最大總收益7260000元，此時種植4400畝；

（3）∵今年該地區(qū)決定用種植樹苗總面積m%的土地種植水果類樹苗，
∴種植水果類樹苗的畝數(shù)為4400m%，
由題意得方程：7500×4400×m%-2700×4400×m%-9×（4400×m%）²=570000，
整理得出：363m²-4400m+11875=0，
解得m₁=

4400+ 550 7

726

≈8，m₂=

4400-550 7

726

≈4，
∴4400×m%=4400×8%≈352畝（不合題意舍去），
4400×m%=4400×4%≈176畝
∴m≈4．
答：m的值為4．

點評：本題考查了二次函數(shù)的實際應用以及待定系數(shù)求函數(shù)解析式以及一元二次方程的應用．此題為數(shù)學建模題，借助二次函數(shù)解決實際問題關鍵是找出等式方程．