【題目】如圖,正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,∠CAB的平分線分別交BD、BC于E、F,作BH⊥AF于點(diǎn)H,分別交AC、CD于點(diǎn)G、P,連結(jié)GE、GF.
(1)求證:△OAE≌△OBG.
(2)試問(wèn):四邊形BFGE是否為菱形?若是,請(qǐng)證明;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴OA=OB,∠AOE=∠BOG=90°.
∵BH⊥AF,
∴∠AHG=∠AHB=90°,
∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH,
∴∠GAH=∠OBG,
即∠OAE=∠OBG.
∴在△OAE與△OBG中, ,
∴△OAE≌△OBG(ASA);
(2)解:四邊形BFGE為菱形;理由如下:
在△AHG與△AHB中, ,
∴△AHG≌△AHB(ASA),
∴GH=BH,
∴AF是線段BG的垂直平分線,
∴EG=EB,F(xiàn)G=FB.
∵∠BEF=∠BAE+∠ABE=67.5°,∠BFE=90°﹣∠BAF=67.5°,
∴∠BEF=∠BFE,
∴EB=FB,
∴EG=EB=FB=FG,
∴四邊形BFGE是菱形;
【解析】(1)由正方形的性質(zhì)得出OA=OB,∠AOE=∠BOG=90°,再由角的互余關(guān)系證出∠OAE=∠OBG,由ASA即可證明△OAE≌△OBG;(2)先證明△AHG≌△AHB,得出GH=BH,由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EG=EB,F(xiàn)G=FB;再證出∠BEF=∠BFE,得出EB=FB,因此EG=EB=FB=FG,即可得出結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD , E 是CB 延長(zhǎng)線上一點(diǎn),下列推理正確的是( )
A.如果∠1=∠2 ,那么AB∥CD
B.如果∠3=∠4 ,那么 AD∥BC
C.如果AD∥BC , 那么∠6+∠BAD=180°.
D.如果∠6+∠BCD=180°,那么AD∥BC
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,點(diǎn)D是BC上一動(dòng)點(diǎn),連結(jié)AD,將△ACD沿AD折疊,點(diǎn)C落在點(diǎn)C′,連結(jié)C′D交AB于點(diǎn)E,連結(jié)BC′.當(dāng)△BC′D是直角三角形時(shí),DE的長(zhǎng)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三角形ABC中, D , E , F三點(diǎn)分別在AB , AC , BC上,過(guò)點(diǎn)D的直線與線段EF的交點(diǎn)為點(diǎn)M , 已知2∠1-∠2=150°,2∠ 2-∠1=30°.
(1)求證:DM∥AC;
(2)若DE∥BC , ∠C =50°,求∠3的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】多項(xiàng)式①2x2﹣x,②(x﹣1)2﹣4(x﹣1)+4,③(x+1)2﹣4x(x+1)+4,④﹣4x2﹣1+4x;分解因式后,結(jié)果含有相同因式的是( 。
A. ①④ B. ①② C. ③④ D. ②③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】國(guó)家規(guī)定,“中小學(xué)生每天在校體育鍛煉時(shí)間不小于1小時(shí)”,某地區(qū)就“每天在校體育鍛煉時(shí)間”的問(wèn)題隨機(jī)調(diào)查了若干名中學(xué)生,根據(jù)調(diào)查結(jié)果制作如下統(tǒng)計(jì)圖(不完整).其中分組情況:A組:時(shí)間小于0.5小時(shí);B組:時(shí)間大于等于0.5小時(shí)且小于1小時(shí);C組:時(shí)間大于等于1小時(shí)且小于1.5小時(shí);D組:時(shí)間大于等于1.5小時(shí).
根據(jù)以上信息,回答下列問(wèn)題:
(1)A組的人數(shù)是 人,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)本次調(diào)查數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在組 ;
(3)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)估計(jì)該地區(qū)25 000名中學(xué)生中,達(dá)到國(guó)家規(guī)定的每天在校體育鍛煉時(shí)間的人數(shù)約有多少人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6CM.點(diǎn)P,Q同時(shí)由B,A兩點(diǎn)出發(fā),分別沿射線BC,AC方向以1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng).
(1)幾秒后△PCQ的面積是△ABC面積的一半?
(2)連結(jié)BQ,幾秒后△BPQ是等腰三角形?
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