Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）圖象的頂點(diǎn)為D，其圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為﹣1，3，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C．下面五個(gè)結(jié)論：①2a+b=0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有當(dāng)a= 時(shí)，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB為等腰三角形的a的值可以有三個(gè)．那么，其中正確的結(jié)論是_____．

Answer 1

【答案】①④

【解析】.①∵圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為﹣1，3，

∴AB=4，

∴對(duì)稱軸x= =1，

即2a+b=0；

故①正確；

②由拋物線的開(kāi)口方向向上可推出a＞0，而＞0

∴b＜0，

∵對(duì)稱軸x=1，

∴當(dāng)x=1時(shí)，y＜0，

∴a+b+c＜0；

故②錯(cuò)誤；

③∵圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為﹣1，3，

∴當(dāng)x=2時(shí)y＜0，

∴4a+2b+c＜0，

又∵b＜0，

∴4a+b+c無(wú)法確定；

故③錯(cuò)誤；

④要使△ABD為等腰直角三角形，必須保證D到x軸的距離等于AB長(zhǎng)的一半；

D到x軸的距離就是當(dāng)x=1時(shí)y的值的絕對(duì)值．

當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c，

即|a+b+c|=2，

∵當(dāng)x=1時(shí)y＜0，

∴a+b+c=﹣2，

又∵圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為﹣1，3，

∴當(dāng)x=﹣1時(shí)y=0即a﹣b+c=0；

x=3時(shí)y=0．

∴9a+3b+c=0，

解這三個(gè)方程可得：b=﹣1，a= ，c=﹣；

故④正確；

⑤要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，

當(dāng)AB=BC=4時(shí)，

∵AO=1，△BOC為直角三角形，

又∵OC的長(zhǎng)即為|c|，

∴c2=16﹣9=7，

∵由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，

∴c=﹣ ，

與2a+b=0、a﹣b+c=0聯(lián)立組成解方程組，解得a= ；

同理當(dāng)AB=AC=4時(shí)，

∵AO=1，△AOC為直角三角形，

又∵OC的長(zhǎng)即為|c|，

∴c2=16﹣1=15，

∵由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，

∴c=﹣

與2a+b=0、a﹣b+c=0聯(lián)立組成解方程組，解得a= ；

同理當(dāng)AC=BC時(shí)

在△AOC中，AC2=1+c2，

在△BOC中BC2=c2+9，

∵AC=BC，

∴1+c2=c2+9，此方程無(wú)解．

經(jīng)解方程組可知只有兩個(gè)a值滿足條件．故⑤錯(cuò)誤．

所以正確的額結(jié)論有：①④