Question

27、如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD，
（1）求證：△BCE≌△DCF；
（2）若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求AC的長．

Answer 1

分析：（1）要證明△BCE≌△DCF，已知一對直角相等和一對邊相等，只需再創(chuàng)造一個條件，所以根據(jù)已知條件運用角平分線的性質(zhì)定理即可證明另一對邊對應(yīng)相等；
（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論進行分析，發(fā)現(xiàn)：AB=AE+BE=AF+BE=AD+DE+BE=AD+2BE，求出BE的長，再根據(jù)勾股定理求得CE的長，再運用勾股定理進行求解即可．

解答：解：（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠CFD=90°，∠CEB=90°（垂線的意義）
CE=CF（角平分線的性質(zhì)）
∵BC=CD（已知）
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）

（2）（4分）由（1）得，
Rt△BCE≌Rt△DCF
∴DF=EB，設(shè)DF=EB=X
∵∠CFD=90°，∠CEB=90°，
CE=CF，AC=AC
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）
∴AF=AE
即：AD+DF=AB-BE
∵AB=21，AD=9，DF=EB=x
∴9+x=21-x解得，x=6
在Rt△DCF中，∵DF=6，CD=10
∴CF=8
∴Rt△AFC中，AC²=CF²+AF²=8²+（9+6）²=289
∴AC=17
答：AC的長為17．

點評：（1）掌握全等三角形的判定方法，能夠根據(jù)已知條件探求需要的邊相等或角相等；
（2）注意線段的等量代換，熟練運用勾股定理．