Question

【題目】在平行四邊形ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作直線EF、GH，分別交平行四邊形的四條邊于E、G、F、H四點(diǎn)，連接EG、GF、FH、HE．
（1）如圖1，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由；
（2）如圖2，當(dāng)EF⊥GH，AC=BD時，四邊形EGFH的形狀是；
（3）在（2）的條件下，若AC⊥BD（如圖3），四邊形EGFH的形狀是 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：四邊形EGFH是平行四邊形．

證明：∵平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O．

∴點(diǎn)O是ABCD的對稱中心．

∴EO=FO，GO=HO．

∴四邊形EGFH是平行四邊形

（2）菱形
（3）正方形
【解析】解：（2）∵四邊形EGFH是平行四邊形，EF⊥GH，AC=BD

∴四邊形EGFH是菱形；

所以答案是：菱形；

⑶四邊形EGFH是正方形；理由如下

∵AC=BD，

∴ABCD是矩形；

又∵AC⊥BD，

∴ABCD是正方形，

∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；

∵EF⊥GH，

∴∠GOF=90°；

∠BOG+∠BOF=∠COF+∠BOF=90°

∴∠BOG=∠COF；

∴△BOG≌△COF（ASA）；

∴OG=OF，同理可得：EO=OH，

∴GH=EF；

由（2）知四邊形EGFH是菱形，

又EF=GH，

∴四邊形EGFH是正方形．

所以答案是：正方形．

【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對角線互相平分即可以解答此題．