Question

在以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+4ax+3a與軸交于A、B兩點(diǎn)（OA＞OB）與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，且OC=3OB．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)直線x=m與拋物線交于點(diǎn)D，與線段AC交于點(diǎn)E，當(dāng)線段DE的長(zhǎng)取最大值時(shí)，求m的值和DE的長(zhǎng)；
（3）設(shè)⊙0₁經(jīng)過A、O、C三點(diǎn)，點(diǎn)M為弧AO上一點(diǎn)．求值．

Answer 1

解：（1）由ax²+4ax+3a=0（a≠0），
可解得，x₁=-1，x₂=-3；
∵OA＞OB，
∴A（-3，0），B（-1，0），
∴OC=3OB=3，
∵拋物線交y軸于負(fù)半軸，
∴C（0，-3），
∴3a=-3，a=-1，
∴拋物線解析式為y=-x²-4x-3；

（2）∵A（-3，0），C（0，-3），
∴直線AC的解析式為y=-x-3，
易得，D（m，-m²-4m-3），E（m，-m-3），
∵拋物線開口向下，點(diǎn)E在AC之間，
∴-3＜m＜0，
∴DE=（-m²-4m-3）-（-m-3）
=-m²-3m=-（m+）²+，
∴當(dāng)m=-時(shí)，DE的長(zhǎng)取最大值，最大值為；

（3）在MC上截取N，使CN=AM，
易證，△CON≌△AOM（SAS），
∴ON=OM，△OMN為等腰直角三角形，故MN=MO，
∴===．
分析：（1）令ax²+4ax+3a=0，求出與x軸、y軸的交點(diǎn)，再根據(jù)OC=3OB即可求出C點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到a的值，即可求出函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)解析式求出D、E的坐標(biāo)表達(dá)式，二者縱坐標(biāo)之差為DE的長(zhǎng)，其表達(dá)式為二次函數(shù)，從而通過配方可直接求出m的值和DE的長(zhǎng)；
（3）在MC上截取N，使CN=AM，得到△CON≌△AOM，從而有ON=OM，則△OMN為等腰直角三角形，故MN=MO，再代入求值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的解和二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系、二次函數(shù)求最值、相似三角形的性質(zhì)和圓的性質(zhì)，難度較大，要細(xì)心．