Question

【題目】如圖，是矩形內的任意一點，連接、、、, 得到 , , , ,設它們的面積分別是，，，， 給出如下結論:①②③若，則④若，則點在矩形的對角線上．其中正確的結論的序號是（ ）

A.①②B.②③C.③④D.②④

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據三角形面積公式、矩形性質及相似多邊形的性質得出：

①矩形對角線平分矩形，S△ABD=S△BCD,只有P點在BD上時，S +S =S +S4；

②根據底邊相等的兩個三角形的面積公式求和可知，S+S=矩形ABCD面積，同理S+S4=矩形ABCD面積，所以S+S= S+S4；

③根據底邊相等高不相等的三角形面積比等于高的比來說明即可；

④根據相似四邊形判定和性質，對應角相等、對應邊成比例的四邊形相似，矩形AEPF∽矩形ABCD推出,點P在對角線上．

解：①當點P在矩形的對角線BD上時，S +S =S +S4.但P是矩形ABCD內的任意一點，所以該等式不一定成立。故①不一定正確;

②∵矩形

∴AB=CD,AD=BC

∵△APD以AD為底邊,△PBC以BC為底邊，這兩三角形的底相等，高的和為AB,

∴S +S =S矩形ABCD;

同理可得S +S4=S矩形ABCD ,

∴②S+S4=S+S正確;

③若S =2S ,只能得出△APD與△PBC高度之比是，S、S4分別是以AB、CD為底的三角形的面積，底相等，高的比不一定等于，S4=2S2不一定正確 ;故此選項錯誤;

④過點P分別作PF⊥AD于點F,PE⊥AB于點E,F.

若S1=S2,.則AD·PF=AB·PE

∴△APD與△PAB的高的比為：

∵∠DAE=∠PEA=∠PFA =90°

∴四邊形AEPF是矩形,

∴矩形AEPF∽矩形ABCD

∴

∴P點在矩形的對角線上，選項④正確．

故選：D