Question

設(shè)一元二次方程x²+px+q=0（p，q為常數(shù)）的兩根為x₁，x₂，則x²+px+q=（x-x₁）（x-x₂），即x²+px+q=x²-（x₁+x₂）x+x₁x₂，比較兩邊x的同次冪的系數(shù)，得

x1+x2=-p① x1x2=q②

這兩個(gè)式子揭示了一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，且關(guān)系式①②中，x₁，x₂的地位是對(duì)等的（即具有對(duì)稱性，如將x₁，x₂互換，原關(guān)系式不變）．類似地，設(shè)一元三次方程x³+px²+qx+r=0（p，q，r為常數(shù)）的3個(gè)根為x₁，x₂，x₃，則x³+px²+qx+r=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）．由此可得方程x³+px²+qx+r=0的根x₁，x₂，x₃與系數(shù)p，q，r之間存在一組對(duì)稱關(guān)系式：

x1+x2+x3=() x1x2+x2x3+x3x1=() x1x2x3=()

 

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，

 

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Answer 1

分析：只需把x³+px²+qx+r=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）的右邊展開(kāi)計(jì)算，再進(jìn)一步根據(jù)多項(xiàng)式相等，則同次項(xiàng)的系數(shù)相等進(jìn)行分析．

解答：解：∵x³+px²+qx+r=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）=x³-（x₁+x₂+x₃）x²+（x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃）x-x₁x₂x₃，
∴x₁+x₂+x₃=-p，x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃=q，x₁x₂x₃=-r．

點(diǎn)評(píng)：此題關(guān)鍵是能夠正確計(jì)算多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，同時(shí)注意：多項(xiàng)式相等，則同次項(xiàng)的系數(shù)相等．