Question

如圖，菱形ABCD的邊長為20cm，∠ABC=120°．動點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路線向點(diǎn)C運(yùn)動；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路線向點(diǎn)C運(yùn)動．當(dāng)P、Q到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，整個(gè)運(yùn)動隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．
（1）在點(diǎn)P、Q運(yùn)動過程中，請判斷PQ與對角線AC的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若點(diǎn)Q關(guān)于菱形ABCD的對角線交點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為M，過點(diǎn)P且垂直于AB的直線l交菱形ABCD的邊AD（或CD）于點(diǎn)N．
①當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P、M、N在一直線上？
②當(dāng)點(diǎn)P、M、N不在一直線上時(shí)，是否存在這樣的t，使得△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）此問需分兩種情況，當(dāng)0＜t≤5及5＜t≤10兩部分分別討論得PQ⊥AC．
（2）①由于點(diǎn)P、M、N在一直線上，則AQ+QM=AM，代入求得t的值．
②假設(shè)存在這樣的t，使得△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形，但是需分點(diǎn)N在AD上時(shí)和點(diǎn)N在CD上時(shí)兩種情況分別討論．
解答：解：（1）若0＜t≤5，則AP=4t，AQ=2t．
則==，
又∵AO=10，AB=20，∴==．
∴=．又∠CAB=30°，∴△APQ∽△ABO．
∴∠AQP=90°，即PQ⊥AC．
當(dāng)5＜t≤10時(shí)，同理，可由△PCQ∽△BCO得∠PQC=90°，即PQ⊥AC．
∴在點(diǎn)P、Q運(yùn)動過程中，始終有PQ⊥AC．

（2）①如圖，在Rt△APM中，∵∠PAM=30°，AP=4t，
∴AM=．
在△APQ中，∠AQP=90°，
∴AQ=AP•cos30°=2t，
∴QM=AC-2AQ=20-4t．
由AQ+QM=AM得：2t+20-4t=，
解得t=．
∴當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)P、M、N在一直線上．

②存在這樣的t，使△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形．
設(shè)l交AC于H．
如圖1，當(dāng)點(diǎn)N在AD上時(shí)，若PN⊥MN，則∠NMH=30°．
∴MH=2NH．得20-4t-=2×，解得t=2．
如圖2，當(dāng)點(diǎn)N在CD上時(shí)，若PM⊥PN，則∠HMP=30°．
∴MH=2PH，同理可得t=．
故當(dāng)t=2或時(shí)，存在以PN為一直角邊的直角三角形．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，較為復(fù)雜，難度較大．