Question

15．如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，4），與直線y=-x+1相交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在y軸上，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（-3，0）．點(diǎn)M是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作MP丄x軸，垂足為點(diǎn)P，交直線AB于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，線段MN取最大值？并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

分析 （1）首先求得A和B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式；
（2）當(dāng)x=m時(shí)，M和N的縱坐標(biāo)即可利用m表示出來(lái)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得MN的最大值．

解答 解：（1）在y=-x+1中，令x=0，解得y=1，則A的坐標(biāo)是（0，1）．
在y=-x+1中，令x=-3，則y=3+1=4，則B的坐標(biāo)是（-3，4）．
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=4}\\{c=1}\\{9a-3b+c=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-4}\\{c=1}\end{array}\right.$．
則拋物線的解析式是y=-x²-4x+1；
（2）當(dāng)x=m時(shí)，M的縱坐標(biāo)是-m²-4m+1，N的縱坐標(biāo)是-m+1，
則MN=（-m²-4m+1）-（-m+1）=-m²-3m=-（m²+3m）=-（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$．
則當(dāng)m=-$\frac{3}{2}$時(shí)，MN有最大值是$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)的應(yīng)用，求函數(shù)最值問(wèn)題常用的方法是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題．