Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+2x+m+1交x軸于點(diǎn)A（a，0）和B（b，0），交y軸于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D，下列四個(gè)命題：
①當(dāng)x＞0時(shí)，y＞0；
②若a=﹣1，則b=4；
③拋物線上有兩點(diǎn)P（x1 ， y1）和Q（x2 ， y2），若x1＜1＜x2 ， 且x1+x2＞2，則y1＞y2；
④點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為E，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，當(dāng)m=2時(shí)，四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為6 ．
其中真命題的序號(hào)是（ ）

A.①
B.②
C.③
D.④

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)圖象過一四象限，當(dāng)0＜x＜b時(shí)，y＞0；當(dāng)x＞b時(shí)，y＜0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
②二次函數(shù)對(duì)稱軸為x=﹣ =1，當(dāng)a=﹣1時(shí)有 =1，解得b=3，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
③∵x1+x2＞2，
∴ ＞1，
又∵x1﹣1＜1＜x2﹣1，
∴Q點(diǎn)距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，
∴y1＞y2 ， 故本選項(xiàng)正確；
④如圖，作D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，
連接D′E′，D′E′與DE的和即為四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值．

當(dāng)m=2時(shí)，二次函數(shù)為y=﹣x2+2x+3，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為y=﹣1+2+3=4，D為（1，4），則D′為（﹣1，4）；C點(diǎn)坐標(biāo)為C（0，3）；則E為（2，3），E′為（2，﹣3）；
則DE= = ；D′E′= = ；
∴四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為 + ，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選C．