【題目】如圖,點(diǎn)O是線段AB上的一點(diǎn),OA=OC,OD平分∠AOC交AC于點(diǎn)D,OF平分∠COB,CF⊥OF于點(diǎn)F.
(1)求證:四邊形CDOF是矩形;
(2)當(dāng)∠AOC多少度時(shí),四邊形CDOF是正方形?并說明理由.
【答案】(1)證明見解析(2)當(dāng)∠AOC=90°時(shí),四邊形CDOF是正方形,理由見解析
【解析】(1)證明:∵OD平分∠AOC,OF平分∠COB(已知),
∴∠AOC=2∠COD,∠COB=2∠COF。
∵∠AOC+∠BOC=180°,∴2∠COD+2∠COF=180°。∴∠COD+∠COF=90°。
∴∠DOF=90°。
∵OA=OC,OD平分∠AOC(已知)。
∴OD⊥AC,AD=DC(等腰三角形的“三合一”的性質(zhì))。∴∠CDO=90°。
∵CF⊥OF,∴∠CFO=90°。
∴四邊形CDOF是矩形。
(2)解:當(dāng)∠AOC=90°時(shí),四邊形CDOF是正方形。理由如下:
∵∠AOC=90°,AD=DC,∴OD=DC。
又由(1)知四邊形CDOF是矩形,則四邊形CDOF是正方形。
因此,當(dāng)∠AOC=90°時(shí),四邊形CDOF是正方形。
(1)利用角平分線的性質(zhì)、平角的定義可以求得∠DOF=90°;由等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)可推知OD⊥AC,即∠CDO=90°;根據(jù)已知條件“CF⊥OF”知∠CFO=90°;則三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形。
(2)當(dāng)∠AOC=90°時(shí),四邊形CDOF是正方形;因?yàn)?/span>Rt△AOC的斜邊上的中線OD等于斜邊的一半,所以矩形的鄰邊OD=CD,所以矩形CDOF是正方形。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,將邊AC沿CD翻折,使點(diǎn)A落在AB上的點(diǎn)E處;再將邊BC沿CF翻折,使點(diǎn)B落在CE的延長線上的點(diǎn)B′處,兩條折痕與斜邊AB分別交于點(diǎn)D、F,則線段B′F的長為( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市為了分析全市1萬名初中畢業(yè)生的數(shù)學(xué)畢業(yè)成績,共隨機(jī)抽取40本試卷,每本30份,則這個(gè)問題中( )
A.個(gè)體是每個(gè)學(xué)生
B.樣本是抽取的1200名學(xué)生的數(shù)學(xué)畢業(yè)成績
C.總體是40本試卷的數(shù)學(xué)畢業(yè)成績
D.樣本是30名學(xué)生的數(shù)學(xué)畢業(yè)成績
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,P為AD上一點(diǎn),將△ABP沿BP翻折至△EBP,PE與CD相交于點(diǎn)O,BE與CD相交于點(diǎn)G,且OE=OD,則AP的長為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)P=2y-2,Q=2y+3,若2P-Q=1, 則y的值是( )
A. 0.4 B. 4 C. -0.4 D. -2.5
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【題目】下列各組長度的線段能構(gòu)成直角三角形的一組是( )
A.30,40,50
B.7,12,13
C.5,9,12
D.3,4,6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,以點(diǎn)P(-1,0)為圓心的圓,交x軸于B、C兩點(diǎn)(B在C的左側(cè)),交y軸于A、D兩點(diǎn)(A在D的下方),AD=,將△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°,得到△MCB.
(1)求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)請?jiān)趫D中畫出線段MB、MC,并判斷四邊形ACMB的形狀(不必證明),求出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)動(dòng)直線l從與BM重合的位置開始繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn),到與BC重合時(shí)停止,設(shè)直線l與CM交點(diǎn)為E,點(diǎn)Q為BE的中點(diǎn),過點(diǎn)E作EG⊥BC于G,連接MQ、QG.請問在旋轉(zhuǎn)過程中∠MQG的大小是否變化?若不變,求出∠MQG的度數(shù);若變化,請說明理由.
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