Question

10．（1）感知：如圖①，以△ABC的邊AB和BC為邊向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形BCE，其中∠ABD=∠CBE=90°，連接AE、DC．求證：△ABE≌△DBC．
（2）應(yīng)用：在（1）的條件下，若AE=8，求四邊形ACED的面積．
（3）拓展：如圖②，在銳角∠BAC內(nèi)有點(diǎn)P，以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)分別作等腰直角三角形DEP和等腰直角三角形FGP，點(diǎn)D、E、F、G分別在邊AB和AC上，連結(jié)EF、DG．若FG∥EP，且DE=4，PG=2，求四邊形DEFG的面積．

Answer 1

分析 （1）利用兩邊夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等即可證明．
（2）首先證明AE=CD，AE⊥CD，根據(jù)S_{四邊形ADEC}=$\frac{1}{2}$•CD•AG+$\frac{1}{2}$•CD•EG=$\frac{1}{2}$•CD•AE即可解決問(wèn)題．
（3）如圖②中，延長(zhǎng)DP交AG于M，連接DF、EG，利用（2）的方法，求出DF即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵BA=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=90°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BD}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC．

（2）設(shè)CD與AE交于點(diǎn)G，AB與CD交于點(diǎn)O．
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，AE=DC=8，
∵∠BDC+∠DOB=90°，
∵∠DOB=∠AOG，
∴∠BAE+∠AOG=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AE⊥CD，
∴S_{四邊形ADEC}=$\frac{1}{2}$•CD•AG+$\frac{1}{2}$•CD•EG=$\frac{1}{2}$•CD•AE=$\frac{1}{2}$×8×8=32．

（3）如圖②中，延長(zhǎng)DP交AG于M，連接DF、EG．
（1）可知△DPF≌△EPG，DF=EG，DF⊥EG，
∵PE∥AG，
∴∠DEP=∠A=45°，
∵∠ADM=45°，
∴∠A=∠ADM=45°，
∴∠AMD=90°，
∵PF=PG，
∴MF=MG，
∵DE=4，PG=2，
∴DP=2$\sqrt{2}$，PM=FM=MG=$\sqrt{2}$，
∴$DM=3\sqrt{2}$，
∴DF=$\sqrt{D{M}^{2}+F{M}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴S_{四邊形DEFG}=$\frac{1}{2}$•DF•EG=10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、四邊形的面積、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，記住對(duì)角線垂直的四邊形面積等于對(duì)角線乘積的一半，屬于中考�？碱}型．