Question

如圖，已知頂點(diǎn)為C的拋物線y=ax²-4ax+c經(jīng)過點(diǎn)（-2，0），與y軸交于點(diǎn)A（0，3），點(diǎn)B是拋物線上的點(diǎn)，且滿足AB∥x軸．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）求拋物線上關(guān)于原點(diǎn)中心對稱的兩個點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在線段AB上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線經(jīng)過的兩點(diǎn)坐標(biāo)，直接利用待定系數(shù)法求解即可．
（2）首先根據(jù)這兩個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，用未知數(shù)表示出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由這兩點(diǎn)都在拋物線的圖象上，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可．
（3）首先由O、A、C三點(diǎn)坐標(biāo)，可確定∠CAP=∠AOC，那么若“以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似”，夾這組對應(yīng)角的兩組對應(yīng)邊必成比例，先求出AC、OC、OA三邊長，再由不同的比例關(guān)系式求出AP的長，而P點(diǎn)縱坐標(biāo)易知（與點(diǎn)A相同），則點(diǎn)P坐標(biāo)可求．

解答：解：（1）拋物線y=ax²-4ax+c經(jīng)過點(diǎn)（-2，0）、A（0，3），有：

4a+8a+c=0 c=3

，解得

a=- 1 4 c=3

∴拋物線的解析式：y=-

1

4

x²+x+3．

（2）依題意，設(shè)這兩個點(diǎn)的坐標(biāo)為：（x，-

1

4

x²+x+3）、（-x，

1

4

x²-x-3）；
∴

1

4

x²-x-3=-

1

4

（-x）²+（-x）+3
解得：x₁=2

3

、x₂=-2

3

；
∴這兩個點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2

3

，2

3

）、（-2

3

、-2

3

）

（3）由（1）的拋物線解析式知：C（2，4）；
過點(diǎn)C作CG⊥y軸于G，如右圖；
∵A（0，3）、C（2，4）
∴OG=4，CG=2，CF=1，AF=2，AC=

5

，OC=2

5

；
則：tan∠COG=tan∠CAF=

1

2

，即∠AOC=∠CAP；
若以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，那么應(yīng)有兩種情況：
①

AP

AC

=

OA

OC

，即

AP

5

=

3

2 5

∴AP=

3

2

，即 P（

3

2

，3）；
②

AP

AC

=

OC

OA

，即

AP

5

=

2 5

3

∴AP=

10

3

，即 P（

10

3

，3）；
綜上，存在符合條件的點(diǎn)P，且坐標(biāo)為（

3

2

，3）或（

10

3

，3）．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)以及相似三角形的判定和性質(zhì)；最后一題要注意根據(jù)不同的對應(yīng)邊進(jìn)行分類討論；總體的難度適中．