Question

AB是⊙O的直徑，P是⊙O外一點(diǎn)，作PC⊥AB于C，PB交⊙O于D，DC交⊙O于E，EB與PC的延長(zhǎng)線交于F，連接AE．上有一動(dòng)點(diǎn)M，連接PM，AM．
（1）∠AEB的度數(shù)是______，根據(jù)是______．如果，弦ED=3cm，⊙O的半徑為2cm．則cos∠MAB=______．
（2）求證：PC•CF=EC•CD．
（3）若AM交PC于G，△PGM滿足什么條件時(shí)，PM與⊙O相切？說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角；可得∠AEB=90°；根據(jù)余弦函數(shù)的定義可得cos∠MAB=，代入數(shù)據(jù)可得答案；
（2）根據(jù)題意易得△ECF∽△PCD，可得比例關(guān)系，進(jìn)而可得答案；
（3）要使PM與⊙O相切，只需使OM⊥PM，根據(jù)角與角的關(guān)系可得當(dāng)∠PGM=∠PMG或PG=PM時(shí)成立．
解答：（1）解：90°；直徑所對(duì)的圓周角是直角；（3分）

（2）證明：∵PC⊥AB，
∴∠CPD=90°-∠ABP=90°-∠AED又∠AEB=90°
∴∠CEF=90°-∠AED∴∠CPD=∠CEF（4分）
∵∠ECF=∠PCD
∴△ECF∽△PCD
∴
∴PC•CF=EC•CD（6分）

（3）解：∠PGM=∠PMG（PG=PM）時(shí)，PM與⊙O相切．（7分）
連接OM
∵PC⊥AB
∴∠BAM+∠AGC=90°
∵∠AGC=∠PGM=∠PMG
∵∠BAM=∠OMA
∴∠OMA+∠PMG=90°
即OM⊥PM，M在⊙O上
∴PM與⊙O相切．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查常見(jiàn)的幾何題型，包括切線的判定、三角函數(shù)的定義與求法，要求學(xué)生掌握常見(jiàn)的解題方法，并能結(jié)合圖形選擇簡(jiǎn)單的方法解題．