Question

一副直角三角板（其中一個三角板的內角是45°，45°，90°，另一個是30°，60°，90°）
（1）如圖①放置，AB⊥AD，∠CAE=

 

，BC與AD的位置關系是

 

；
（2）在（1）的基礎上，再拿一個30°，60°，90°的直角三角板，如圖②放置，將AC′邊和AD邊重合，AE是∠CAB′的角平分線嗎，如果是，請加以說明，如果不是，請說明理由．
（3）根據（1）（2）的計算，請解決下列問題：如圖③∠BAD=90°，∠BAC=∠FAD=20°，將一個45°，45°，90°直角三角板的一直角邊與AD邊重合，銳角頂點A與∠BAD的頂點重合，AE是∠CAF的角平分線嗎？如果是，請加以說明，如果不是，請說明理由．
（4）如果將圖③中的∠BAC=∠FAD=α（α是銳角），其它條件不變，那么（3）問中的結論還成立嗎？只需回答是還是不是，不需要說明理由．

Answer 1

考點：角的計算,角平分線的定義

專題：

分析：（1）如圖①，∠CAE=90°-∠BAC-∠EAD；由平行線的判定定理推知BC∥AD；
（2）欲證明AE是∠CAB′的角平分線，只需推知∠EAB′=15°；
（3）根據等量代換推知AE是∠CAF的角平分線；
（4）利用（3）的解題思路解答即可．

解答：解：（1）如圖①，∵AB⊥AD，
∴∠BAD=90°．
又∠BAC=30°，∠EAD=45°，
∴∠CAE=90°-∠BAC-∠EAD=15°；
∵∠ABC=90°，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴BC∥AD．
故答案是：15°；相互平行；

（2）AE是∠CAB′的角平分線．理由如下：
如圖②，∵∠EAD=45°，∠B′AC′=30°，
∴∠EAB′=∠EAD-∠B′AC′=15°．
又由（1）知，∠CAE=15°，
∴∠CAE=∠EAB′，即AE是∠CAB′的角平分線；

（3）AE是∠CAF的角平分線．理由如下：
如圖③，∵∠EAD=45°，∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
又∵∠BAC=∠FAD=20°，
∴∠BAE-∠BAC=25°∠DAE-∠FAD=25°，
∴∠CAE=∠FAE，即AE是∠CAF的角平分線；

（4）AE是∠CAF的角平分線．理由如下：
如圖③，∵∠EAD=45°，∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
又∵∠BAC=∠FAD=20°，
∴∠BAE-∠BAC=∠DAE-∠FAD，
∴∠CAE=∠FAE，即AE是∠CAF的角平分線．

點評：本題考查了角的計算和角平分線的定義．解題時，利用了“數形結合”的數學思想．