Question

如圖，在圓外切凸六邊形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA．求證：凸六邊形ABCDEF是中心對稱圖形．

Answer 1

解：如圖，
∵CD∥AF，AB與AF相交，
∴延長AB、CD后必相交，交點(diǎn)為Q，類似的交點(diǎn)P、S，令X、Y、Z為3個切點(diǎn)，
∵BC∥EF，CD∥FA，
∴∠P=∠QBC，∠Q=∠PAF，
∴△PAF∽△BQC，
同理可得，△PAF∽△BQC∽△EDS∽△PQS，它們的周長依次記為m₁、m₂、m₃、m，
易證m₁+m₂+m₃=（PX+PZ）+（QX+QY）+（SY+SZ）=PQ+QS+SP=m，
此時，1=++=++，則=1-=1-=，
∴AF=CD，
又∵AF∥CD，
∴AD、CF必互相平分，
∴AD、BE、CF三線共點(diǎn)，令該點(diǎn)為O，顯然點(diǎn)O是圓心，且是凸六邊形ABCDEF的對稱中心．
分析：先延長AB、CD后必相交，交點(diǎn)為Q，類似的交點(diǎn)P、S，再根據(jù)AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA可得，△PAF∽△BQC∽△EDS∽△PQS，它們的周長依次記為m₁、m₂、m₃、m，再由相似三角形周長的比等于相似比可求出AF=CD，再由平行線的性質(zhì)可得AD、CF必互相平分且AD、BE、CF三線共點(diǎn)，則其交點(diǎn)必為六邊形的對稱中心．
點(diǎn)評：本題考查的是正多邊形和圓、中心對稱圖形、相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及面較廣，難度較大．