Question

如圖，拋物線過原點O，與x軸交于A，點D（4，2）在該拋物線上，過點D作CD∥x軸，交拋物線于點C，交y軸于點B，連結(jié)CO、AD.
【小題1】求拋物線的解析式及點C的坐標
【小題2】將△BCO繞點O按順時針旋轉(zhuǎn)90°后                                      再沿x軸對折得到△OEF（點C與點E對應(yīng)），判斷點E是否落在拋物線上，并說明理由；
【小題3】設(shè)過點E的直線交OA于點P，交CD邊于點Q. 問是否存在點P，使直線PQ分梯形AOCD的面積為1∶3兩部分？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【小題1】；C(-1,2)
【小題2】點E落在拋物線上. 理由如下：


由旋轉(zhuǎn)、軸對稱的性質(zhì)知：
點E點的坐標為（2，-1）
當時，
點E落在拋物線上.    
【小題3】存在點P（a，0）. 如上圖記S_梯形CQPO= S₁，S_梯形ADQP = S₂，易求S_梯形ABCD = 8.
當PQ經(jīng)過點F（3，0）時，易求S₁=5，S₂ = 3，此時S₁∶S₂不符合條件，故a≠3.
設(shè)直線PQ的解析式為y = kx+b(k≠0)，則，解得，
∴. 由y = 2得x = 3a－6，∴Q（3a－6，2）
∴CQ = 3a－5，P O= a，.
下面分兩種情形：①當S₁∶S₂ = 1∶3時，= 2；
∴4a－75= 2，解得；
②當S₁∶S₂ = 3∶1時，；  ∴4a－75= 6，解得；
綜上所述：所求點P的坐標為（，0）或（，0）   

解析