【題目】已知正方形ABCD的邊長為1,點P為正方形內(nèi)一動點,若點M在AB上,且滿足△PBC∽△PAM,延長BP交AD于點N,連結CM.
(1)如圖一,若點M在線段AB上,求證:AP⊥BN;AM=AN;
(2)①如圖二,在點P運動過程中,滿足△PBC∽△PAM的點M在AB的延長線上時,AP⊥BN和AM=AN是否成立?(不需說明理由)
②是否存在滿足條件的點P,使得PC= ?請說明理由.
【答案】
(1)
證明:如圖一中
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°,
∵△PBC∽△PAM,
∴∠PAM=∠PBC, ,
∴∠PBC+∠PBA=90°,
∴∠PAM+∠PBA=90°,
∴∠APB=90°,
∴AP⊥BN,
∵∠ABP=∠ABN,∠APB=∠BAN=90°,
∴△BAP∽△BNA,
∴ ,
∴ ,
∵AB=BC,
∴AN=AM.
(2)
解:①仍然成立,AP⊥BN和AM=AN.理由如圖二中,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°,
∵△PBC∽△PAM,
∴∠PAM=∠PBC, ,
∴∠PBC+∠PBA=90°,
∴∠PAM+∠PBA=90°,
∴∠APB=90°,
∴AP⊥BN,
∵∠ABP=∠ABN,∠APB=∠BAN=90°,
∴△BAP∽△BNA,
∴ ,
∴
∵AB=BC,
∴AN=AM.
②這樣的點P不存在.
理由:假設PC= ,
如圖三中,
以點C為圓心 為半徑畫圓,以AB為直徑畫圓,
CO= = >1+ ,
∴兩個圓外離,∴∠APB<90°,這與AP⊥PB矛盾,
∴假設不可能成立,
∴滿足PC= 的點P不存在
【解析】(1)由△PBC∽△PAM,推出∠PAM=∠PBC,由∠PBC+∠PBA=90°,推出∠PAM+∠PBA=90°即可證明AP⊥BN,由△PBC∽△PAM,推出 = = ,由△BAP∽△BNA,推出 = ,得到 = ,由此即可證明.(2)①結論仍然成立,證明方法類似(1).②這樣的點P不存在.利用反證法證明.假設PC= ,推出矛盾即可.本題考查相似三角形綜合題、正方形的性質、圓的有關知識,解題的關鍵是熟練應用相似三角形性質解決問題,最后一個問題利用圓的位置關系解決問題,有一定難度,屬于中考壓軸題.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術的廣泛應用,催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展.小明計劃給朋友快遞一部分物品,經(jīng)了解有甲、乙兩家快遞公司比較合適.甲公司表示:快遞物品不超過1千克的,按每千克22元收費;超過1千克,超過的部分按每千克15元收費.乙公司表示:按每千克16元收費,另加包裝費3元.設小明快遞物品x千克.
(1)請分別寫出甲、乙兩家快遞公司快遞該物品的費用y(元)與x(千克)之間的函數(shù)關系式;
(2)小明選擇哪家快遞公司更省錢?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義運算:ab=a(1﹣b).若a,b是方程x2﹣x+ m=0(m<0)的兩根,則bb﹣aa的值為( )
A.0
B.1
C.2
D.與m有關
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了節(jié)約水資源,某市準備按照居民家庭年用水量實行階梯水價,水價分檔遞增.計劃使第一檔、第二檔和第三檔的水價分別覆蓋全市居民家庭的80%,15%和5%.為合理確定各檔之間的界限,隨機抽查了該市5萬戶居民家庭上一年的年用水量(單位:㎡),繪制了統(tǒng)計圖,如圖所示,下面有四個推斷:
① 年用水量不超過180㎡的該市居民家庭按第一檔水價交費
② 年用水量超過240㎡的該市居民家庭按第三檔水價交費
③ 該市居民家庭年用水量的中位數(shù)在150-180之間
④ 該市居民家庭年用水量的平均數(shù)不超過180
正確的是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】閱讀材料:
在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等,==,利用上述結論可以求解如下題目:
在△ABC中,∠A、∠B、∠C的對邊分別為a,b,c.若∠A=45°,∠B=30°,a=6,求b.
解:在△ABC中,∵=∴b====3.
理解應用:
如圖,甲船以每小時30海里的速度向正北方向航行,當甲船位于A1處時,乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處,且乙船從B1處按北偏東15°方向勻速直線航行,當甲船航行20分鐘到達A2時,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處,此時兩船相距10海里.
(1)判斷△A1A2B2的形狀,并給出證明
(2)求乙船每小時航行多少海里?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D為直線BC上一動點(點D不與B,C重合),以AD為邊在AD右側作正方形ADEF,連接CF.
(1)觀察猜想
如圖1,當點D在線段BC上時,
①BC與CF的位置關系為: .
②BC,CD,CF之間的數(shù)量關系為:;(將結論直接寫在橫線上)
(2)數(shù)學思考
如圖2,當點D在線段CB的延長線上時,結論①,②是否仍然成立?若成立,請給予證明;若不成立,請你寫出正確結論再給予證明.
(3)拓展延伸
如圖3,當點D在線段BC的延長線上時,延長BA交CF于點G,連接GE.若已知AB=2 ,CD= BC,請求出GE的長.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=2α.
(1)如圖1,若點D關于直線AE的對稱點為F,求證:△ADF∽△ABC;
(2)如圖2,在(1)的條件下,若α=45°,求證:DE2=BD2+CE2;
(3)如圖3,若α=45°,點E在BC的延長線上,則等式DE2=BD2+CE2還能成立嗎?請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,四邊形ADEF是正方形,點B、C分別在邊AD、AF上,此時BD=CF,BD⊥CF成立.
(1)當△ABC繞點A逆時針旋轉θ(0°<θ<90°)時,如圖2,BD=CF成立嗎?若成立,請證明,若不成立,請說明理由;
(2)當△ABC繞點A逆時針旋轉45°時,如圖3,延長BD交CF于點H.
①求證:BD⊥CF;
②當AB=2,AD=3 時,求線段DH的長.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知:在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,點C,D,E三點在同一條直線上,連接BD.圖中的CE、BD有怎樣的大小和位置關系?試證明你的結論.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com