Question

如圖，⊙O是梯形ABCD的內切圓，AB∥DC，E、M、F、N分別是邊AB、BC、CD、DA上的切點．
（1）求證：AB+CD=AD+BC；
（2）求∠AOD的度數．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據切線長定理可證得AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM，進而證明AB+DC=AD+BC；
（2）連OE、ON、OM、OF，通過證明△OAE≌△OAN，得到∠OAE=∠OAN．同理：∠ODN=∠ODE，再利用平行線的性質：同旁內角互補即可求出∠AOD的度數．
解答：（1）證明：∵⊙O切梯形ABCD于E、M、F、N，由切線長定理：AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM，
∴AE+BE+DF+CF=AN+BM+DN+CM，
∴AB+DC=AD+BC；

（2）解：連OE、ON、OM、OF，
∵OE=ON，AE=AN，OA=OA，
∴△OAE≌△OAN，
∴∠OAE=∠OAN．
同理，∠ODN=∠ODF．
∴∠OAN+∠ODN=∠OAE+∠ODE．
又∵AB∥DC，∠EAN+∠CDN=180°，
∴∠OAN+∠ODN=×180°=90°，
∴∠AOD=180°-90°=90°．
點評：本題考查了切線長定理和全等三角形的判定、全等三角形的性質以及平行線的性質：同旁內角互補，解題的關鍵是構造全等三角形．