Question

如圖，已知，正△A₁B₁C₁的外接圓⊙O內切于正△ABC，若△ABC的面積是4，則陰影部分的面積是

1. A.
   2
2. B.
   
3. C.
   2
4. D.
   +π

Answer 1

B
分析：解法（1）連接AO延長交BC于D，連接OB、OC₁，過O作OE⊥A₁C₁于E，設正△ABC的邊長是a，則BD=CD=a，根據(jù)等邊三角形的性質求出OD、AD，根據(jù)三角形的面積公式和勾股定理求出BC、AD、OD，根據(jù)勾股定理和含30°角的直角三角形的性質求出DE、EC₁，進一步求出A₁C₁及邊上的高，根據(jù)三角形的面積公式求出△A₁B₁C₁的面積，根據(jù)式子×（△ABC的面積-△A₁B₁C₁的面積），代入求出即可．
解法（2）連接MN，根據(jù)旋轉得到陰影部分的面積等于△BMN的面積，求出△BMN的面積即可．
解答：解：解法（1）
連接AO延長交BC于D，連接OB、OC₁，過O作OE⊥A₁C₁于E，
∵正三角形ABC，
∴AD⊥BC，BD=DC，
設正△ABC的邊長是a，則BD=CD=a，
根據(jù)勾股定理得：AD=a，
∵△ABC的面積是4，
∴×a×a=4，
∴a=4，
∴BD=2，
∵O是正△ABC的內切圓的圓心，
∴∠OBC=×60°=30°，
∴OD=BO，
由勾股定理得：OD=，
∴C₁0=，
同法可求：OE=OC₁=，
C₁E=A₁E=1，
∴A₁C₁=2，
A₁C₁邊上的高是3×=，
∴△A₁B₁C₁的面積是×2×=，
∴陰影部分的面積是×（△ABC的面積-△A₁B₁C₁的面積）=×（4-）=，
解法（2）
連接MN，
由（1）可知：BN=BD=2，
同法可求BN上的高MH=，
∴根據(jù)旋轉得出：陰影部分的面積=△BMN的面積=BN×MH=×2×=．
故選B．
點評：本題主要考查對三角形的內角和定理，等腰三角形的性質和判定，等邊三角形的性質，三角形的面積，三角形的內切圓與內心，三角形的外接圓與外心，含30度得直角三角形的性質，勾股定理，三角形的面積等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．