Question

△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，已知關(guān)于x的方程x²-（c+4）x+4c+8=0．
（1）若a，b是方程的兩根，求證△ABC為直角三角形；
（2）若在（1）的條件下，且25asinA=9c，求此直角三角形三邊的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，推出a，b，c的三邊關(guān)系，從而根據(jù)勾股定理的逆定理可證．
（2）由三角函數(shù)的定義，結(jié)合已知，分析三邊關(guān)系，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可求得c，從而求出a，b．

解答：解：（1）∵a，b是方程的根，
∴a+b=c+4，ab=4c+8．
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=（c+4）²-2×（4c+8）=c²+8c+16-8c-16=c²．
根據(jù)勾股定理的逆定理知△ABC為直角三角形．

（2）由（1）知∠C=90°，故sinA=

a

c

．
又25asinA=9c，則sinA=

9c

25a

，
∴

a

c

=

9c

25a

，
∴

a2

c2

=

9

25

，
得

a

c

=

3

5

，
則可得

b

c

=

4

5

．
由a+b=c+4，可得

7

5

c=c+4，
解得c=10．
∴a=6，b=8．

點評：此類題目是中學(xué)階段常規(guī)題目，此類題目在根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系解得答案時要代入原方程得判別式進行檢驗．一元二次方程的兩個根x₁、x₂具有這樣的關(guān)系：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．