Question

4．某公司經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該公司生產(chǎn)的某商品在第x天的售價(jià)（1≤x≤100）為（x+40）元/件，而該商品每天的銷(xiāo)量滿(mǎn)足關(guān)系式y(tǒng)=200-2x．如果該商品第20天的售價(jià)按7折出售，仍然可以獲得40%的高額利潤(rùn)．
（1）求該公司生產(chǎn)每件商品的成本為多少元；
（2）問(wèn)銷(xiāo)售該商品第幾天時(shí)，每天的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
（3）該公司每天需要控制人工、水電和房租支出共計(jì)a元，若考慮這一因素后公司對(duì)最大利潤(rùn)要控制在4000元至5000元之間（包含4000和5000），且保證至少有90天的盈利，請(qǐng)直接寫(xiě)出a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)該公司生產(chǎn)每件商品的成本為a元，根據(jù)：實(shí)際售價(jià)-成本=利潤(rùn)，列出方程，解方程可得；
（2）根據(jù)：每天利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×每天銷(xiāo)售量列出函數(shù)關(guān)系式，配方成頂點(diǎn)式可得函數(shù)的最值情況；
（3）根據(jù)（2）中每天利潤(rùn)減去每天開(kāi)支a元列出函數(shù)關(guān)系式P=-2（x-45）²+6050-a，根據(jù)最大利潤(rùn)要控制在4000元至5000元之間可得關(guān)于a的不等式，解不等式可得a的取值范圍，再由至少有90天的盈利可知-2x²+180x+2000-a=0的兩根x₁、x₂間距離x₁-x₂≥90，根據(jù)韋達(dá)定理可得關(guān)于a的不等式，求得a的范圍，綜合上述情況確定a的范圍．

解答 解：（1）設(shè)該公司生產(chǎn)每件商品的成本為a元，根據(jù)題意，
得：0.7×（20+40）-a=0.4a，
解得：a=30，
故該公司生產(chǎn)每件商品的成本為30元；
（2）設(shè)第x天的銷(xiāo)售利潤(rùn)為W，
則：W=（x+40-30）（-2x+200）=-2x²+180x+2000=-2（x-45）²+6050，
∴當(dāng)x=45時(shí)，W取得最大值，最大值為6050元，
故問(wèn)銷(xiāo)售該商品第45天時(shí)，每天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是6050元；
（3）記公司每天控制人工、水電和房租支出共計(jì)a元后利潤(rùn)為P，
則P=-2（x-45）²+6050-a，
根據(jù)題意：4000≤6050-a≤5000，
解得：1050≤a≤2050，
又∵至少有90天的盈利，
∴-2x²+180x+2000-a=0的兩根x₁、x₂間距離x₁-x₂≥90，
∴（x₁-x₂）²≥90²，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂≥90²，
∵x₁+x₂=90，x₁x₂=$\frac{a-2000}{2}$，
∴90²-4×$\frac{a-2000}{2}$≥90²，解得：a≤2000，
綜上，1050≤a≤2000．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用能力，明確不等關(guān)系并據(jù)此列出方程或函數(shù)關(guān)系式是解題基礎(chǔ)，根據(jù)題意挖掘出不等關(guān)系求a的范圍是關(guān)鍵．