Question

如果一個點(diǎn)能與另外兩個點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，則稱這個點(diǎn)為另外兩個點(diǎn)的勾股點(diǎn)．例如：矩形ABCD中，點(diǎn)C與A，B兩點(diǎn)可構(gòu)成直角三角形ABC，則稱點(diǎn)C為A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．同樣，點(diǎn)D也是A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)
【小題1】如圖1，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，請?jiān)谶匔D上作出A，B兩點(diǎn)（除C,D以外）的勾股點(diǎn)（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）．

（1）      【小題2】如圖2，矩形ABCD中，

AB＝12cm，BC＝4 cm，DM＝8 cm，AN＝5 cm．動點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)沿著DC方向以1 cm／s的速度向右移動，過點(diǎn)P的直線l平行于BC，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)M時(shí)停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t(s) ，點(diǎn)H為M，N兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，且點(diǎn)H在直線l上．
①當(dāng)t＝4，求PH的長．
②探究滿足條件的點(diǎn)H的個數(shù)（直接寫出點(diǎn)H的個數(shù)及相應(yīng)t的取值范圍，不必證明）．

Answer 1

【小題1】以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點(diǎn)有兩個 ----------1分
【小題2】①當(dāng)t＝4時(shí)，有3個勾股點(diǎn).如圖，

PH＝或PH＝2或PH＝3 ．每種情況各1分 --3分
②當(dāng)0≤ t＜4時(shí)，有2個勾股點(diǎn)；
當(dāng)t＝4時(shí)，有3個勾股點(diǎn)；
當(dāng)4＜t＜5時(shí)，有4個勾股點(diǎn)；
當(dāng)t＝5時(shí)，有2個勾股點(diǎn)；
當(dāng)5＜t＜8時(shí)，有4個勾股點(diǎn)；
當(dāng)t＝8時(shí)，有2個勾股點(diǎn)．      -------------------------5分
（除①的情況，其余每種1分）
綜上所述，當(dāng)0≤ t＜4或t＝5或t＝8時(shí)，有2個勾股點(diǎn)；當(dāng)t＝4時(shí)，有3個勾股點(diǎn)；當(dāng)4＜t＜5或5＜t＜8時(shí)，有4個勾股點(diǎn)．

解析