Question

如圖，一次函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，PC⊥x軸于點(diǎn)C，延長(zhǎng)PC交反比例函數(shù)y=（x＜0）的圖象于點(diǎn)D，且OD∥AB，
（1）求k的值；
（2）連OP、AD，求證：四邊形APOD是菱形．

Answer 1

（1）解：∵∠AOB=90°，P為AB中點(diǎn)，
∴AP=OP=PB，
∵PC⊥AO
∴AC=OC，
∵DO∥AB，
∴∠DOA=∠OAB，
∴△ACP≌△OCD
∴DC=CP，
令一次函數(shù)y=-x-2中的y=0，得到x=-6，令x=0，得到y(tǒng)=-2，
即B點(diǎn)坐標(biāo)（0，-2），A點(diǎn)坐標(biāo)（-6，0），即OA=6，OB=2，
易知tan∠OAB=tan∠AOD=，又OC=3，
∴DC=1，
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)（-3，1），
代入反比例解析式得k=-3；

（2）證明：由（1）△ACP≌△OCD，得AP=DO，
又AP∥DO，
∴四邊形APOD為平行四邊形，
又AP=PO，
∴四邊形APOD為菱形．
分析：（1）由∠AOB=90°，得到三角形AOB為直角三角形，又P為斜邊AB的一半，得到AP與PO相等，由PC與AC垂直，根據(jù)“三線合一”得到C為AO中點(diǎn)，又根據(jù)DO與AB平行，得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，再加上一對(duì)直角相等，利用“ASA”得到三角形DCO與三角形APC全等，從而得到DC與CP相等，然后令直線AB解析式得x=0和y=0分別求出對(duì)應(yīng)的y和x的值，確定出A與B的坐標(biāo)，進(jìn)而得到OA與OB的長(zhǎng)，從而求出DC與OC的長(zhǎng)，寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，把D的坐標(biāo)代入到反比例解析式中即可求出k的值；
（2）由（1）中證出的三角形DCO與三角形APC全等，得到AC與OC相等，DC與CP相等，利用對(duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊形得到APOD為平行四邊形，再由（1）得到的AP=OP，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形為菱形即可得證．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及菱形的判定，是一道反比例的綜合題．要求學(xué)生掌握平行線的性質(zhì)，直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)及反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，借助圖形選擇合適的方法，培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力．