Question

如圖（1），已知AD是△ABC的中線，∠ADC=45°，把△ABC沿AD對(duì)折，點(diǎn)C落到點(diǎn)C′的位置，連接BC′，如圖（2）
（1）探究BC′與BC之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）若BC=6cm，AD=4cm時(shí)，求四邊形AC′BD的面積．

Answer 1

解：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)知：∠C′DA=∠ADC=45°，C′D=CD；
∴∠C′DB=∠C′DC=90°，BD=CD=C′D；
∴△BDC′是等腰Rt△，即BC′=BD=×BC=BC；
∴BC′與BC的關(guān)系是BC′=BC．

（2）∵BC=6cm，
∴BC′=3cm，C′D=3cm；
過C′作C′E⊥AD于E，則△C′DE是等腰直角三角形；
∴C′E=C′D=cm；
易知∠C′BD=∠ADC=45°，則C′B∥AD，四邊形ADBC′是梯形；
∴S_{四邊形AC′BD}=（BC′+AD）×C′E=×（3+4）×=+3（cm²）．
分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得到的條件是：①DC′=DC，②∠C′DA=∠ADC=45°，即C′D⊥CD；由①知DC′=CD=DB，聯(lián)立②所得到的條件，即可判定△BDC′是等腰直角三角形，因此BC′=BD，而BC=2BD，由此可得到BC、BC′的數(shù)量關(guān)系；
（2）由于∠C′BD=∠ADC=45°，因此C′B∥AD，所以四邊形ADBC′是梯形，根據(jù)BC的長和（1）的結(jié)論可求出BC′的長；過C′作AD的垂線，設(shè)垂足為E，則△C′DE也是等腰直角三角形，根據(jù)C′D的長即可求得C′E的長；知道了梯形的上下底和高，即可根據(jù)梯形的面積公式求出梯形ADBC′的面積．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圖形的折疊，同時(shí)考查了等腰直角三角形、梯形等幾何基本知識(shí)，難度適中．