如圖,拋物線E:y=x2+4x+3交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于M點(diǎn),拋物線E關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線F交x軸于C、D兩點(diǎn).
(1)求F的解析式;
(2)在x軸上方的拋物線F或E上是否存在一點(diǎn)N,使以A、C、N、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,求點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若將拋物線E的解析式改為y=ax2+bx+c,試探索問(wèn)題(2).

【答案】分析:(1)令y=0,可求出拋物線E與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),再令x=0,可求出與y軸的交點(diǎn)M,可以得到這三點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn),設(shè)拋物線F的解析式是y=ax2+bx+3,直接把AB的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)代入F的解析式,即可求出F的解析式.
(2)若使以A、C、N、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,那么應(yīng)有MN∥AC,即N,M兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同,可將M點(diǎn)的總坐標(biāo)代入兩拋物線的解析式中求出N點(diǎn)的坐標(biāo),然后看MN是否與AC的長(zhǎng)相等即可判斷出是否存在符合條件的N點(diǎn).
(3)同(2)一樣,也要先用代數(shù)式表示出A、C、M的坐標(biāo),然后用M的縱坐標(biāo)求出N點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而去比較MN和AC的長(zhǎng)是否相等.
解答:解:(1)解法一:當(dāng)y=0時(shí),x2+4x+3=0,
解得x1=-3,x2=-1,
∴A、B點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-3,0)、(-1,0);
當(dāng)x=0時(shí),y=3,
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),A、B、M三點(diǎn)關(guān)于y軸得對(duì)稱點(diǎn)分別是D、C、M,
∴D、C坐標(biāo)為(3,0)、(1,0);
設(shè)F的解析式為y=ax2+bx+3,則有:,
∴a=1,b=-4
∴拋物線F的解析式為y=x2-4x+3.
解法二:∵拋物線E與拋物線F關(guān)于y軸對(duì)稱,且拋物線E:y=x2+4x+3,
∴拋物線F的方程是:y=(-x)2+4×(-x)+3=x2-4x+3,即
拋物線F的解析式為y=x2-4x+3;

(2)存在.假設(shè)MN∥AC,
∴N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3.
若在拋物線F上,當(dāng)y=3時(shí),3=x2-4x+3,則x1=0,x2=4
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(4,3),
∴MN=4,
由(1)可求AC=4,
∴MN=AC,
∴四邊形ACNM為平行四邊形.
根據(jù)拋物線F和E關(guān)于y軸對(duì)稱,故N點(diǎn)坐標(biāo)為(4,3)或(-4,3).

(3)存在.假設(shè)MN∥AC,
∴N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為c.設(shè)y=0,
∴ax2+bx+c=0
,
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),
B點(diǎn)坐標(biāo)為(,0)
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),
∴AC=
在拋物線E上,當(dāng)y=c時(shí),c=ax2+bx+c,x1=0,x2=
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(,c)
NM=0-()=,
∴NM=AC,
∴四邊形ACMN為平行四邊形.
根據(jù)拋物線F和E關(guān)于y軸對(duì)稱,故N點(diǎn)坐標(biāo)為(,c)或(,c).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定,軸對(duì)稱圖形,平行四邊形的判定等知識(shí)點(diǎn).
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

26、已知:如圖,拋物線C1,C2關(guān)于x軸對(duì)稱;拋物線C1,C3關(guān)于y軸對(duì)稱.拋物線C1,C2,C3與x軸相交于A、B、C、D四點(diǎn);與y相交于E、F兩點(diǎn);H、G、M分別為拋物線C1,C2,C3的頂點(diǎn).HN垂直于x軸,垂足為N,且|OE|>|HN|,|AB|≠|(zhì)HG|
(1)A、B、C、D、E、F、G、H、M9個(gè)點(diǎn)中,四個(gè)點(diǎn)可以連接成一個(gè)四邊形,請(qǐng)你用字母寫出下列特殊四邊形:菱形
AHBG
;等腰梯形
HGEF
;平行四邊形
EGFM
;梯形
DMHC
;(每種特殊四邊形只能寫一個(gè),寫錯(cuò)、多寫記0分)
(2)證明其中任意一個(gè)特殊四邊形;
(3)寫出你證明的特殊四邊形的性質(zhì).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,拋物線交x軸于點(diǎn)A(-2,0),點(diǎn)B(4,0),交y軸于點(diǎn)C(0,4).
(1)求拋物線的解析式,并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)若直線y=x交拋物線于M,N兩點(diǎn),交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)E,連接BC,EB,EC.試判斷△EBC的形狀,并加以證明;
(3)設(shè)P為直線MN上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)P作PF∥ED交直線MN上方的拋物線于點(diǎn)F.問(wèn):在直線MN上是否存在點(diǎn)P,使得以P,E,D,F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P及相應(yīng)的點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,4),與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是A(-1,0),與y軸交于點(diǎn)B,直線x=1交x軸于點(diǎn)N.
(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求經(jīng)過(guò)B、M兩點(diǎn)的直線的解析式,并求出此直線與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸x=1上運(yùn)動(dòng),請(qǐng)你探索:在x軸上方是否存在這樣的P點(diǎn),使精英家教網(wǎng)以P為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,并且與直線BM相切?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,拋物線y=ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A(-3,0),點(diǎn)B(1,0),交y軸于點(diǎn)E(0,-3)精英家教網(wǎng).點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn),點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn),直線l過(guò)點(diǎn)F且與y軸平行.直線y=-x+m過(guò)點(diǎn)C,交y軸于D點(diǎn).
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)點(diǎn)K為線段AB上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)K作x軸的垂線與直線CD交于點(diǎn)H,與拋物線交于點(diǎn)G,求線段HG長(zhǎng)度的最大值;
(3)在直線l上取點(diǎn)M,在拋物線上取點(diǎn)N,使以點(diǎn)A,C,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求點(diǎn)N的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸兩交點(diǎn)是A(-1,0),B(3,0),則如圖可知y<0時(shí),x的取值范圍是(  )
A、-1<x<3B、3<x<-1C、x>-1或x<3D、x<-1或x>3

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