【答案】
分析:(1)令y=0,可求出拋物線E與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),再令x=0,可求出與y軸的交點(diǎn)M,可以得到這三點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn),設(shè)拋物線F的解析式是y=ax
2+bx+3,直接把AB的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)代入F的解析式,即可求出F的解析式.
(2)若使以A、C、N、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,那么應(yīng)有MN∥AC,即N,M兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同,可將M點(diǎn)的總坐標(biāo)代入兩拋物線的解析式中求出N點(diǎn)的坐標(biāo),然后看MN是否與AC的長(zhǎng)相等即可判斷出是否存在符合條件的N點(diǎn).
(3)同(2)一樣,也要先用代數(shù)式表示出A、C、M的坐標(biāo),然后用M的縱坐標(biāo)求出N點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而去比較MN和AC的長(zhǎng)是否相等.
解答:解:(1)解法一:當(dāng)y=0時(shí),x
2+4x+3=0,
解得x
1=-3,x
2=-1,
∴A、B點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-3,0)、(-1,0);
當(dāng)x=0時(shí),y=3,
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),A、B、M三點(diǎn)關(guān)于y軸得對(duì)稱點(diǎn)分別是D、C、M,
∴D、C坐標(biāo)為(3,0)、(1,0);
設(shè)F的解析式為y=ax
2+bx+3,則有:
,
∴a=1,b=-4
∴拋物線F的解析式為y=x
2-4x+3.
解法二:∵拋物線E與拋物線F關(guān)于y軸對(duì)稱,且拋物線E:y=x
2+4x+3,
∴拋物線F的方程是:y=(-x)
2+4×(-x)+3=x
2-4x+3,即
拋物線F的解析式為y=x
2-4x+3;
(2)存在.假設(shè)MN∥AC,
∴N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3.
若在拋物線F上,當(dāng)y=3時(shí),3=x
2-4x+3,則x
1=0,x
2=4
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(4,3),
∴MN=4,
由(1)可求AC=4,
∴MN=AC,
∴四邊形ACNM為平行四邊形.
根據(jù)拋物線F和E關(guān)于y軸對(duì)稱,故N點(diǎn)坐標(biāo)為(4,3)或(-4,3).
(3)存在.假設(shè)MN∥AC,
∴N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為c.設(shè)y=0,
∴ax
2+bx+c=0
∴
,
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(
,0),
B點(diǎn)坐標(biāo)為(
,0)
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(
,0),
∴AC=
在拋物線E上,當(dāng)y=c時(shí),c=ax
2+bx+c,x
1=0,x
2=
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(
,c)
NM=0-(
)=
,
∴NM=AC,
∴四邊形ACMN為平行四邊形.
根據(jù)拋物線F和E關(guān)于y軸對(duì)稱,故N點(diǎn)坐標(biāo)為(
,c)或(
,c).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定,軸對(duì)稱圖形,平行四邊形的判定等知識(shí)點(diǎn).