Question

【題目】如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)A（﹣1，0）的拋物線y=x2﹣bx﹣3與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D點(diǎn)．

（1）求b的值以及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）連接BC、BD、CD，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得以A、C、P為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

（3）動點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，1）．

①當(dāng)△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形時(shí)，求m的值；

②連接OQ、CQ，求△CQO的外接圓半徑的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）b=2；D（1，﹣4）；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)（0，0）（9，0）；（3）Q的坐標(biāo)是（2，1）或Q（﹣2，1）．

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得AP的長，根據(jù)線段的和差，可得P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）①利用兩點(diǎn)間的距離公式和勾股定理求得答案；

②根據(jù)三角形的外心在邊的垂直平分線上，可得M在OC的垂直平分線上，根據(jù)切線的性質(zhì)MQ=FN，根據(jù)勾股定理，可得MN的長，可得答案．

（1）把A（﹣1，0）代入y=x2﹣bx﹣3，得

1+b﹣3=0，

解得b=2．

y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴D（1，﹣4）．

（2）如圖1，

當(dāng)y=0時(shí)，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，即A（﹣1，0），B（3，0），D（1，﹣4）．

由勾股定理，得

BC2=18，CD2=1+1=2，BD2=22+16=20，

BC2+CD2=BD2，∠BCD=90°，

①當(dāng)△APC△DCB時(shí)， ，解得AP=1，即P（0，0）；

②當(dāng)△ACP∽△DCB時(shí)，，解得AP=10，即P′（9，0），

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)（0，0）（9，0）；

（3）①如圖2，當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣3，即C（0，﹣3）．

又∵B（3，0），

∴當(dāng)∠QBC=90°，由BC2+BQ2=CQ2得到：32+（﹣3）2+（m﹣3）2+12=（m﹣0）2+（1+3）2，

解得m=2；

當(dāng)∠QCB=90°，由BC2+CQ2=BQ2得到：32+（﹣3）2+（m﹣0）2+（1+3）2=（m﹣3）2+12，

解得m=4；

綜上所述，m的值為2或4；

②如圖3，

記△OQC的外心為M，則M在OC的垂直平分線MN上（MN與y軸交與點(diǎn)N）．

∵當(dāng)MQ取最小值時(shí)，

⊙M與直線y=1相切，

MQ=FN=OM=2.5，

MN=，

FQ=MN=2，

∴Q（2，1）．

根據(jù)題意知，（﹣2，1）也滿足題意，

綜上所述，Q的坐標(biāo)是（2，1）或Q（﹣2，1）．