Question

二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，經(jīng)過點(diǎn)A（1，）；點(diǎn)F（0，1）在y軸上．直線y=﹣1與y軸交于點(diǎn)H．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)P是（1）中圖象上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線與直線y=﹣1交于點(diǎn)M，求證：FM平分∠OFP；

（3）當(dāng)△FPM是等邊三角形時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）解：∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，

∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²，

將點(diǎn)A（1，）代入y=ax²得：a=，

∴二次函數(shù)的解析式為y=x²；

（2）證明：∵點(diǎn)P在拋物線y=x²上，

∴可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x， x²），

過點(diǎn)P作PB⊥y軸于點(diǎn)B，則BF=x²﹣1，PB=x，

∴Rt△BPF中，

PF==x²+1，

∵PM⊥直線y=﹣1，

∴PM=x²+1，

∴PF=PM，

∴∠PFM=∠PMF，

又∵PM∥x軸，

∴∠MFH=∠PMF，

∴∠PFM=∠MFH，

∴FM平分∠OFP；

（3）解：當(dāng)△FPM是等邊三角形時(shí)，∠PMF=60°，

∴∠FMH=30°，

在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，

∵PF=PM=FM，

∴x²+1=4，

解得：x=±2，

∴x²=×12=3，

∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）或（﹣2，3）．