Question

已知AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，AB=6，cd=4，BD=14，則在BD上是否存在點(diǎn)P，使以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與以P、B、A為頂點(diǎn)的三角形相似？如果存在，求DP的長；如果不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定

專題：計(jì)算題

分析：設(shè)DP=x，則BP=BD-x=14-x，根據(jù)垂直的定義得到∠B=∠D=90°，再根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，當(dāng)

AB

CD

=

BP

DP

時(shí)，△ABP∽△CDP，即

6

4

=

14-x

x

；當(dāng)

AB

DP

=

BP

DC

時(shí)，△ABP∽△PDC，即

6

x

=

14-x

4

；然后分別解方程求出x即可．

解答：解：存在．
設(shè)DP=x，則BP=BD-x=14-x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B=∠D=90°，
∴當(dāng)

AB

CD

=

BP

DP

時(shí)，△ABP∽△CDP，即

6

4

=

14-x

x

，解得x=

28

5

；
當(dāng)

AB

DP

=

BP

DC

時(shí)，△ABP∽△PDC，即

6

x

=

14-x

4

，整理得x²-14x+24=0，解得x₁=2，x₂=12，
∴當(dāng)DP為

28

5

或2或12時(shí)，以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與以P、B、A為頂點(diǎn)的三角形相似．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．