Question

（2013年四川南充8分）如圖，公路AB為東西走向，在點(diǎn)A北偏東36.5°方向上，距離5千米處是村莊M；在點(diǎn)A北偏東53.5°方向上，距離10千米處是村莊N（參考數(shù)據(jù)：sin36.5°＝0.6，cos36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75）.

（1）求M，N兩村之間的距離；

（2）要在公路AB旁修建一個(gè)土特產(chǎn)收購站P，使得M，N兩村到P站的距離之和最短，求這個(gè)最短距離。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）如圖，過點(diǎn)M作CD∥AB，NE⊥AB。

在Rt△ACM中，∠CAM=36.5°，AM=5，

∴�！郈M＝3，AC＝4。

在Rt△ANE中， ∠NAE=90°－53.5°=36.5°，AN=10，

∴�！郚E＝6，AE＝8。

在Rt△MND中，MD＝5，ND＝2，

∴(km) 。

（2）作點(diǎn)N關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G，連接MG交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為站點(diǎn)。

∴PM＋PN＝PM＋PG＝MG。

在Rt△MDG中， (km) ，

∴最短距離為 km 。

【解析】（1）過點(diǎn)M作CD∥AB，NE⊥AB，在Rt△ACM中求出CM，AC，在Rt△ANE中求出NE，AE，繼而得出MD，ND的長度，在Rt△MND中利用勾股定理可得出MN的長度，

（2）作點(diǎn)N關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G，連接MG交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為站點(diǎn)，求出MG的長度即可。

考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用（方向角問題），銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，軸對(duì)稱的應(yīng)用（最短路線問題）。