Question

【題目】如圖，在中，.點在上，點在的延長線上，連接FD并延長交BC于點E，若∠BED=2∠ADC，AF=2，DF=7，則的面積為______．

Answer 1

【答案】

【解析】

作CD的垂直平分線交AD于M，交CD與N，根據垂直平分線的性質可得MC=MD，進而可得∠MDC=∠MCD，根據已知及外角性質可得∠AMC=∠BED，由等腰直角三角形的性質可得∠B=∠CAB=45°，根據三角形內角和定理可得∠ACM=∠BDE，進而可證明∠ADF=∠ACM，進而即可證明∠FCD=∠FDC，根據等腰三角形的性質可得CF=DF，根據已知可求出AC的長，根據三角形面積公式即可得答案.

作CD的垂直平分線交AD于M，交CD與N，

∵MN是CD的垂直平分線，

∴MC=MD，

∴∠MDC=∠MCD，

∵∠AMC=∠MDC=∠MCD，

∴∠AMC=2∠ADC，

∵∠BED=2∠ADC，

∴∠AMC=∠BED，

∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠B=∠CAB=45°，

∵∠ACM=180°-∠CAM-∠AMC，∠BDE=180°-∠B-∠BED，

∴∠ACM=∠BDE，

∵∠BDE=∠ADF，

∴∠ADF=∠ACM，

∴∠ADF+∠ADC=∠ACM+∠MCD，即∠FCD=∠FDC，

∴FC=FD，

∵AF=2，FD=7，

∴AC=FC-AF=7-2=5，

∴S△ABC=×5×5=.

故答案為：