Question

19．如圖，P為正方形ABCD對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，若AB=2，則AP+BP+CP的最小值為（　　）

• A． $\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$
• C． 4
• D． 3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 如圖將△ABP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AEF，當(dāng)E、F、P、C共線時(shí)，PA+PB+PC最小，作EM⊥DA交DA的延長(zhǎng)線于M，ME的延長(zhǎng)線交CB的延長(zhǎng)線于N，在RT△ECN中理由勾股定理即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖將△ABP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AEF，當(dāng)E、F、P、C共線時(shí)，PA+PB+PC最�。�
理由：∵AP=AF，∠PAF=60°，
∴△PAF是等邊三角形，
∴PA=PF=AF，EF=PB，
∴PA+PB+PC=EF+PF+PC，
∴當(dāng)E、F、P、C共線時(shí)，PA+PB+PC最小，
作EM⊥DA交DA的延長(zhǎng)線于M，ME的延長(zhǎng)線交CB的延長(zhǎng)線于N，則四邊形ABNM是矩形，
在RT△AME中，∵∠M=90°，∠MAE=30°，AE=2，
∴ME=1，AM=BN=$\sqrt{3}$，MN=AB=2，EN=1，
∴EC=$\sqrt{E{N}^{2}+N{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}+2）^{2}}$=$\sqrt{8+4\sqrt{3}}$=$\sqrt{（\sqrt{6}）^{2}+2•\sqrt{6}•\sqrt{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{6}+\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．
∴PA+PB+PC的最小值為$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、軸對(duì)稱-最短問(wèn)題、旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考�？碱}型．