如圖,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC.將△ACD沿對(duì)角線AC翻折后,點(diǎn)D恰好與邊AB的中點(diǎn)M重合.
(1)點(diǎn)C是否在以AB為直徑的圓上?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)當(dāng)AB=4時(shí),求此梯形的面積.

【答案】分析:(1)連接MC,根據(jù)對(duì)折前后的兩個(gè)角完全重合,利用角的關(guān)系證明AD∥MC,然后證明出四邊形AMCD是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等得到AM=CD,從而得到AM=MC,又點(diǎn)M是AB的中點(diǎn),所以AM=MC=MB,從而得證;
(2)先證明△BCM是等邊三角形,然后求出等邊三角形BM邊上的高,再利用梯形的面積公式列式計(jì)算即可.
解答:解:(1)點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上.
理由如下:連接MC,
∵AB∥CD,
∴∠DCA=∠BAC,
∵∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠MCA,
∴∠DAC=∠MCA,
∴AD∥MC,
∴四邊形AMCD是平行四邊形,
∴AM=CD,
∵△ACD沿對(duì)角線AC翻折后,點(diǎn)D恰好與邊AB的中點(diǎn)M重合,
∴DC=MC,
∴AM=MC,
∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn),
∴AM=BM,
∴AM=MC=BM,
∴點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上;

(2)由(1)得四邊形AMCD是平行四邊形,
∴AD=MC,
∵AD=BC,
∴MC=BC,
∴△BCM是等邊三角形,
∵AB=4,
∴BC=BM=AB=2,
過(guò)點(diǎn)C作CE⊥MB,垂足為E,
則BE=MB=1,
由勾股定理得,CE===
∴梯形ABCD的面積=(2+4)×=3
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了等腰梯形的性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,綜合性較強(qiáng),作出輔助線把梯形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平行四邊形與的問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.
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14、如圖,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=60°,BD平分∠ABC,若梯形ABCD的周長(zhǎng)為40cm,則CD的長(zhǎng)為( �。�

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24、已知:如圖,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BD平分∠ABC.
(1)求證:AB=AD;
(2)若AD=2,∠C=60°,求等腰梯形ABCD的周長(zhǎng).

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(2007•昌平區(qū)二模)已知:如圖,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BD平分∠ABC,∠A=120°,BD=4
3

(1)求證:AB=AD;
(2)求△BCD的面積.

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如圖,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,對(duì)角線BD平分∠ABC,且BD⊥DC,上底AD=3cm.
(1)求∠ABC的度數(shù); 
(2)求梯形ABCD的周長(zhǎng).

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如圖,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,BD平分∠ABC,BD⊥DC,延長(zhǎng)BC到E,使CE=AD.
(1)求證:BD=DE;
(2)當(dāng)DC=2時(shí),求梯形面積.

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