Question

如圖，已知：在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，且a、b是關于x的一元二次方程x²+4（c+2）=（c+4）x的兩個根，點D是以C為圓心，CB為半徑的圓與AB的交點．
（1）證明：△ABC是直角三角形；
（2）若，求AB的長；
（3）在（2）的條件下求AD長．

Answer 1

（1）證明：依題意，得a+b=c+4，ab=4（c+2）
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=（c+4）²-2×4（c+2）=c²+8c+16-8c-16=c²
∴△ABC是直角三角形．

（2）解：設a=3k，b=4k，從而c=5k（k＞0）．
代入a+b=c+4，得k=2；
∴a=6，b=8，c=10．

（3）解：過C作CE⊥AB于E．
則CE==，BE===；
由垂徑定理，得BD=2BE=；
故AD=10-BD=10-7.2=2.8．
分析：（1）由韋達定理可求得a+b、ab的值，然后證a²+b²=c²，由勾股定理來判定△ABC是直角三角形；
（2）可根據(jù)a、b的比例關系，用未知數(shù)設出a、b的長，進而可表示出c的值；由韋達定理知：a+b=c+4，由此可求得未知數(shù)的值，進而可求出a、b、c的值，也就得出了AB的長．
（3）欲求AD，需先求出BD；可過C作CE⊥BD于E，根據(jù)直角三角形面積的不同表示方法，可求出CE的長，在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理，可求出BE的值；由垂徑定理知BD=2BE，由此可求出BD的長，由此得解．
點評：此題綜合考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系、勾股定理、直角三角形的判定和性質、垂徑定理等知識．