1.已知:如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=10cm,BC=12cm,對角線AC=10cm,點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿著邊CB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動,速度為每秒1個(gè)單位:同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿著邊AB向點(diǎn)A勻速運(yùn)動,到達(dá)A點(diǎn)后立刻以原來的速度沿AB返回,點(diǎn)Q的速度為每秒1個(gè)單位,過P點(diǎn)與AB平行的直線交線段AD于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,連接PQ,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t(s).
(1)當(dāng)0<t<10時(shí),設(shè)四邊形AQPE的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)0<t<10時(shí),是否存在某一時(shí)刻t,使四邊形AQPE的面積為平行四邊形ABCD面積的一半?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由;
(3)當(dāng)0<t<10時(shí),是否存在某一時(shí)刻t,使PQ⊥PE?若存在,求出t的值;不存在,請說明理由;
(4)當(dāng)0<t<12時(shí),是否存在某一時(shí)刻t,使線段PQ的垂直平分線恰好經(jīng)過點(diǎn)B?存在,請直接給出相應(yīng)的t值;若不存在,請說明理由.

分析 (1)利用相似三角形的判斷和性質(zhì),表示出BQ=t,QH=$\frac{4}{5}$t,PF=$\frac{5}{6}$t,相似三角形的面積比等于相似比的平方,S△CPF=$\frac{12}{25}$t2,從而y用三角形的面積的差表示出,即可;
(2)假設(shè)存在,建立方程,求出方程的解,全不符合題意,得到不存在;
(3)假設(shè)存在,建立方程,求出方程的解符合題意,即存在時(shí)間t,使PQ⊥PE;
(4)假設(shè)存在,由線段PQ的垂直平分線恰好經(jīng)過點(diǎn)B,得到BQ=BP,建立方程,求出t,即可.

解答 解:如圖1,作AG⊥BC于G,作QH⊥BC于H,
∴QH∥AG,
∴$\frac{BQ}{AB}$=$\frac{QH}{AG}$,
∵AG⊥BC,AB=AC=10,BC=12,
∴BG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×12=6,AG=8,
∵BQ=t,
∴$\frac{t}{10}$=$\frac{QH}{8}$,
∴QH=$\frac{4}{5}$t,
∵PE∥AB,
∴$\frac{PF}{AB}$=$\frac{PC}{BC}$,
∴$\frac{PF}{10}$=$\frac{t}{12}$,
∴PF=$\frac{5}{6}$t,
∵BC=12,AG=8,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AG=48,
(1)∵BP=AE=BC-PC=12-t,QH=$\frac{4}{5}$t,
∴S△BPQ=$\frac{1}{2}$BP×QH=$\frac{1}{2}$×(12-t)×$\frac{4}{5}$t,
∴y=S四邊形AQPE=S四邊形ABPE-S△BPQ=(12-t)×8-$\frac{1}{2}$×(12-t)×$\frac{4}{5}$t=$\frac{2}{5}$t2-$\frac{64}{5}$t+96,(0<t<10)
(2)解:假設(shè)存在某一時(shí)刻t,使四邊形AQPE的面積為平行四邊形ABCD面積的一半,
由(1)由S四邊形AQPE=$\frac{2}{5}$t2-$\frac{64}{5}$t+96,
∴$\frac{2}{5}$t2-$\frac{64}{5}$t+96=48,
∴t=16$+2\sqrt{34}$,(不合題意),t=16-2$\sqrt{34}$,
∴存在這樣某一時(shí)刻t=$\frac{32-4\sqrt{34}}{2}$,使四邊形AQPE的面積為平行四邊形ABCD面積的一半;
(3)解:假設(shè)存在某一時(shí)刻t,使PQ⊥PE,
∵PE∥AB,
∴∠BQP=90°,
∴∠BQP=∠AGB,∠B=∠B,
∴△BQP∽△BGA,
∴$\frac{BQ}{BG}=\frac{BP}{AB}$,
∵BG=6,BQ=t,BP=12-t,AB=10,
∴$\frac{t}{6}$=$\frac{12-t}{10}$,
∴t=$\frac{9}{2}$,
∴存在t=$\frac{9}{2}$,使PQ⊥PE;
(4)假設(shè)存在某一時(shí)刻t,使線段PQ的垂直平分線恰好經(jīng)過點(diǎn)B,
∴BQ=BP,
當(dāng)0<t<10時(shí),
∵BP=12-t,BQ=t,
∴12-t=t,
∴t=6,
∴存在t=6,使線段PQ的垂直平分線恰好經(jīng)過點(diǎn)B,
當(dāng)10≤t<12時(shí),
∵BQ=20-t,BP=12-t,
∴20-t=12-t,明顯等式不成立,
∴不存在某一時(shí)刻t,使線段PQ的垂直平分線恰好經(jīng)過點(diǎn)B,
即:存在t=6,使線段PQ的垂直平分線恰好經(jīng)過點(diǎn)B.

點(diǎn)評 本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定,計(jì)算圖形面積的方法,解本題的關(guān)鍵是建立y與t的函數(shù)關(guān)系式.

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11.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC,OA=3,OC=6,將△ABC沿對角線AC翻折,使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處,AB′與y軸交于點(diǎn)D,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為( 。
A.(0,-$\frac{9}{2}$)B.(0,-$\frac{9}{4}$)C.(0,-$\frac{7}{2}$)D.(0,-$\frac{7}{4}$)

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12.如圖1,正方形ABCD的邊長為2,點(diǎn)E不在正方形的外部,AE=2,過點(diǎn)E作直線MN⊥AE交BC、CD分別于M、N,連接AM、AN,設(shè)BM=a.
(1)正方形ABCD的周長=8.
(2)求DN的長(用含a的式子表示).
(3)如圖2,過點(diǎn)M作直線l⊥BC,P是直線l上的動點(diǎn),當(dāng)△ANP是等腰直角三角形時(shí),求a的值.

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9.如圖,正方形ABCD邊長為4,點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B,速度為1,點(diǎn)Q沿B-C-D運(yùn)動,速度為2,點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā),則△BPQ的面積y與運(yùn)動時(shí)間t(t≤4)的函數(shù)圖象是( 。
A.B.C.D.

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16.如圖,已知拋物線y=ax2+2x+6(a≠0)交x軸與A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),將直尺WXYZ與x軸負(fù)方向成45°放置,邊WZ經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)C(4,m),與拋物線的另一交點(diǎn)為點(diǎn)D,直尺被x軸截得的線段EF=2,且△CEF的面積為6.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)探究:在直線AC上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得△ACP的面積最大?若存在,請求出面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)將直尺以每秒2個(gè)單位的速度沿x軸向左平移,設(shè)平移的時(shí)間為t秒,平移后的直尺為W′X′Y′Z′,其中邊X′Y′所在的直線與x軸交于點(diǎn)M,與拋物線的其中一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)N,請直接寫出當(dāng)t為何值時(shí),可使得以C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

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6.小明的爸爸和媽媽分別駕車從家同時(shí)出發(fā)去上班,爸爸行駛到甲處時(shí),看到前面路口時(shí)紅燈,他立即剎車減速并在乙處停車等待,爸爸駕車從家到乙處的過程中,速度v(m/s)與時(shí)間t(s)的關(guān)系如圖1中的實(shí)線所示,行駛路程s(m)與時(shí)間t(s)的關(guān)系如圖2所示,在加速過程中,s與t滿足表達(dá)式s=at2
(1)根據(jù)圖中的信息,寫出小明家到乙處的路程,并求a的值;
(2)求圖2中A點(diǎn)的縱坐標(biāo)h,并說明它的實(shí)際意義;
(3)爸爸在乙處等待7秒后綠燈亮起繼續(xù)前行,為了節(jié)約能源,減少剎車,媽媽駕車從家出發(fā)的行駛過程中,速度v(m/s)與時(shí)間t(s)的關(guān)系如圖1中的折線O-B-C所示,加速過程中行駛路程s(m)與時(shí)間t(s)的關(guān)系也滿足s=at2,當(dāng)她行駛到甲處時(shí),前方的綠燈剛好亮起,求此時(shí)媽媽駕車的行駛速度.

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13.某小區(qū)要建一個(gè)地基為多邊形的涼亭,如果這個(gè)多邊形的外角和等于它的內(nèi)角和,那么這個(gè)多邊形是(  )
A.六邊形B.五邊形C.四邊形D.三邊形

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10.在下面四個(gè)幾何體中,主視圖與俯視圖都是圓的為( 。
A.B.C.D.

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11.解方程:6(x-2)=8x+3.

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