Question

三角形ABC中，BC=6，AB=2AC，P為BC延長線上一點，且CP=2，
（1）當(dāng)AB=8時，求三角形ABC的面積；
（2）當(dāng)AB變化時，求證：AP的值為定值，并求出這個定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）過C作CD垂直于AB，交AB于D，求出CD的長，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積，設(shè)BD=x，則AD=8-x，在直角三角形BDC和直角三角形ADC中，利用勾股定理列出兩關(guān)系式，分別記作①和②，①-②消去CD²得到關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，把求出的x的值代入①即可求出CD的長，得到三角形ABC的面積；
（2）過A作AE垂直于CP，設(shè)CE=x，AE=y，AC=a，AB=2a，在直角三角形ACE中，利用勾股定理列出關(guān)系式，記作①，在直角三角形ABE中，根據(jù)勾股定理再列出關(guān)系式，記作②，①-②得到關(guān)系式③，然后在直角三角形APE中，利用勾股定理表示出AP²，將①和③代入即可求出AP的長，故為定值．
解答：解：（1）過C作CD⊥AB，交AD于D，
設(shè)BD=x，則AD=8-x，又BC=6，AB=8，AC=AB=4，
在Rt△BDC中，根據(jù)勾股定理得：x²+CD²=6²①，
在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：（8-x）²+CD²=4²②，
聯(lián)立①②，消去CD²得：x²-36=（8-x）²-16，
即16x=84，解得：x=，
把x=代入①得：CD==，
則S_△ABC=AB•CD=×8×=3；

（2）過A作AE⊥CP，交CP于E，如圖所示：
設(shè)CE=x，AE=y，AC=a，AB=2a，
在Rt△ACE中，根據(jù)勾股定理得：x²+y²=a²①，
在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理得：（6+x）²+y²=（2a）²②，
①-②得：-4x=12-a²③，
在Rt△AEP中，根據(jù)勾股定理得：
AP²=AE²+EP²=y²+（2-x）²=x²+y²-4x+4，
將①和③代入得：AP²=a²+12-a²+4=16，
開方得：AP=4，
則AP的值為定值，且定值為4．
點評：此題考查了勾股定理，以及三角形面積的求法．此題利用勾股定理先后建立三個方程，建立轉(zhuǎn)換條件，使問題得以解決，這些由定理得到的結(jié)論都呈現(xiàn)著等式特征，因而用方程的方法得以實施．應(yīng)用此方法解決問題時，關(guān)鍵是抓住幾何問題中所闡明的相等關(guān)系，代數(shù)問題有的可以用幾何的方法求解，幾何問題也可以用代數(shù)的方法求解，這種數(shù)形轉(zhuǎn)換，實質(zhì)也是一種建模方法．