Question

記三角形三邊長為a、b、c，對應邊上的高為h_a、h_b、h_c，請解答：
（1）已知h_a：h_b：h_c=2：3：4，且這三角形周長為26cm，求a、b、c．
（2）若三角形的三條高分別為2、x、6，求x的取值范圍．
（3）若三條高分別為2、x、6的三角形是直角三角形，求x．
（4）若三條高分別為2、x、6的三角形是等腰三角形，求x．

Answer 1

解：（1）設h_a=2k，h_b=3k，h_c=4k，則
ah_a=bh_b=ch_c，
即a×2k=b×3k=c•4k，
∴2a=3b=4c，
∴a：b：c=6：4：3，
又∵a+b+c=26cm，
∴a=12cm，b=8cm，c=6cm；
（2）設三角形的面積為s，則
s=ah_a=a，s=bh_b=bx，s=ch_c=3c，
∴a=s，b=，c=，
又a-c＜b＜a+c，
即 s-＜＜s+，
∴＜＜，
∴＜x＜3；
（3）設三角形的面積為s，由（2）知a=s，b=，c=．
顯然a＞c，分兩種情況：
①如果a為斜邊，那么a²=b²+c²，
即s²=+，
解得x=；
②如果b為斜邊，那么b²=a²+c²，
即=s²+，
解得x=．
故所求x的值為=或；
（4）設三角形的面積為s，由（2）知a=s，b=，c=．
顯然a＞c，分兩種情況：
①如果a=b，那么s=，解得x=2；
②如果b=c，那么b+c＜a，不滿足三角形三邊關系定理，故舍去．
故所求x=2．
分析：（1）設h_a=2k，h_b=3k，h_c=4k，根據(jù)三角形的面積公式列出等式，得出a：b：c=6：4：3，再由三角形的周長為26cm，即可得出答案；
（2）設三角形的面積為s，根據(jù)三角形的面積公式，可用含s的代數(shù)式分別表示a、b、c的值，再根據(jù)三角形三邊關系定理列出不等式組，求解即可；
（3）設三角形的面積為s，由（2）知a=s，b=，c=．顯然a＞c，所以分兩種情況進行討論：①如果a為斜邊；②如果b為斜邊．對每一種情況，都可以利用勾股定理列出關于x的方程，解方程即可；
（4）設三角形的面積為s，由（2）知a=s，b=，c=．顯然a＞c，所以分兩種情況進行討論：①a=b；②b=c．對每一種情況，列方程求出解以后，利用三角形三邊關系定理檢驗．
點評：本題考查了三角形的周長、面積公式，三角形三邊關系定理，勾股定理，等腰三角形的性質，綜合性較強，有一定難度．設輔助未知數(shù)s是解題的關鍵．