Question

如圖，要在一塊形狀為直角三角形（∠C為直角）的鐵皮上裁出一個(gè)半圓形的鐵皮，需先在這塊鐵皮上畫出一個(gè)半圓，使它的圓心在線段AC上，且與AB、BC都相切．
（1）請(qǐng)你用直尺和圓規(guī)作出該半圓；（要求保留作圖痕跡，不要求寫作法）
（2）說明你所畫的半圓與AB、BC都相切的理由；
（3）若AC=4，BC=3，求半圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）先作∠B的角平分線與AC的交點(diǎn)為O，以O(shè)為圓心，OC為半徑畫半圓即可；
（2）由）∠ACB=90°得到OC⊥CB且OC=r，BC與半圓O相切，再過點(diǎn)O作OD垂直于AB交AB于點(diǎn)D，因?yàn)镺B平分∠ABC且OD⊥AB，OC⊥BC，所以O(shè)D=OC=r且OD⊥AB，從而證得AB與半圓O相切；
（3）先設(shè)半圓的半徑為r，已知半圓O與AB相切于點(diǎn)D，得到OD⊥AB，∠ADO=90°，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再在△ADO和△ACB中，∠ADO=∠ACB∠A=∠A，證得△ADO∽△ACB，利用相似三角形的性質(zhì)：兩個(gè)三角形相似對(duì)應(yīng)邊的比相等直接求解．

解答：解：（1）作∠B的角平分線與AC的交點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OC為半徑畫半圓；

（2）∵∠ACB=90°
∴OC⊥CB且OC=r，
∴BC與半圓O相切
過點(diǎn)O作OD垂直于AB交AB于點(diǎn)D
∵OB平分∠ABC且OD⊥AB，OC⊥BC，
∴OD=OC=r且OD⊥AB
∴AB與半圓O相切

（3）設(shè)半圓的半徑為r，
∵半圓O與AB相切于點(diǎn)D∴OD⊥AB∴∠ADO=90°
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴AB=

AC2+CB2

=

42+32

=5
在△ADO和△ACB中
∠ADO=∠ACB∠A=∠A
∴△ADO∽△ACB
∴

AO

AB

=

OD

BC

4-r

5

=

r

3

∴r=

3

2

．
答：半圓的半徑為

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判斷與性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，此題綜合性較強(qiáng)，比較復(fù)雜，一定要細(xì)心去做．