Question

12．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+1經(jīng)過點(diǎn)A（4，-3），頂點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，l是過點(diǎn)（0，2）且垂直于y軸的直線，過P作PH⊥l，垂足為H，連接PO．
（1）求拋物線的解析式，并寫出其頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）①當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)處時(shí)，計(jì)算：PO=5，PH=5，由此發(fā)現(xiàn)，PO=PH（填“＞”、“＜”或“=”）；
②當(dāng)P點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，猜想PO與PH有什么數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）如圖2，設(shè)點(diǎn)C（1，-2），問是否存在點(diǎn)P，使得以P，O，H為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）①求出PO、PH即可解決問題．
②結(jié)論：PO=PH．設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（m，-$\frac{1}{4}$m²+1），利用兩點(diǎn)之間距離公式求出PH、PO即可解決問題．
（3）首先判斷PH與BC，PO與AC是對(duì)應(yīng)邊，設(shè)點(diǎn)P（m，-$\frac{1}{4}$m²+1），由$\frac{PH}{HO}$=$\frac{BC}{BA}$列出方程即可解決問題．

解答 （1）解：∵拋物線y=ax²+1經(jīng)過點(diǎn)A（4，-3），
∴-3=16a+1，
∴a=-$\frac{1}{4}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+1，頂點(diǎn)B（0，1）．
（2）①當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)處時(shí)，∵PO=5，PH=5，
∴PO=PH，
故答案分別為5，5，=．
②結(jié)論：PO=PH．
理由：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（m，-$\frac{1}{4}$m²+1），
∵PH=2-（-$\frac{1}{4}$m²+1）=$\frac{1}{4}$m²+1
PO=$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{1}{4}{m}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$m²+1，
∴PO=PH．
（3）∵BC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，AB=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$
∴BC=AC，
∵PO=PH，
又∵以P，O，H為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，
∴PH與BC，PO與AC是對(duì)應(yīng)邊，
∴$\frac{PH}{HO}$=$\frac{BC}{BA}$，設(shè)點(diǎn)P（m，-$\frac{1}{4}$m²+1），
∴$\frac{\frac{1}{4}{m}^{2}+1}{\sqrt{{m}^{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4\sqrt{2}}$，
解得m=±1，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（1，$\frac{3}{4}$）或（-1，$\frac{3}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是記住兩點(diǎn)之間的距離公式，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，用方程去解決問題，屬于中考?jí)狠S題．