Question

如果定義：“到三角形的兩個頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心．”例如：如圖1所示，若PC=PB，則稱點(diǎn)P為△ABC的準(zhǔn)外心．

（1）觀察并思考，△ABC的準(zhǔn)外心有______個．
（2）如圖2，△ABC是等邊三角形，CD⊥AB，準(zhǔn)外心點(diǎn)P在高CD上，且PD=，在圖中畫出點(diǎn)P點(diǎn)，求∠APB的度數(shù)．
（3）已知△ABC為直角三角形，斜邊BC=5，AB=3，準(zhǔn)外心點(diǎn)P在AC邊上，在圖中畫出P點(diǎn)，并求PA的長．

Answer 1

解：（1）∵到三角形的兩個頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心，
∴△ABC的準(zhǔn)外心是：AB，BC，AC的垂直平分線上的點(diǎn)．
∴△ABC的準(zhǔn)外心有無數(shù)個．
故答案為：無數(shù)；

（2）①若PB=PC，連接PB，則∠PCB=∠PBC，
∵CD為等邊三角形的高，
∴AD=BD，∠PCB=30°，
∴∠PBD=∠PBC=30°，
∴PD=DB=AB，
與已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC，
②若PA=PC，連接PA，同理可得PA≠PC，
③若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，
∴∠APD=45°，
∴∠APB=90°；

（3）∵BC=5，AB=3，
∴AC==4，
①若PB=PC，設(shè)PA=x，則x²+3²=（4-x）²，
∴x=，即PA=，
②若PA=PC，則PA=2，
③若PA=PB，由圖知，在Rt△PAB中，不可能．
故PA=2或．
分析：（1）根據(jù)到三角形的兩個頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心，可得△ABC的準(zhǔn)外心是：AB，BC，AC的垂直平分線上的點(diǎn)．
（2）連接PA、PB，根據(jù)準(zhǔn)外心的定義，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三種情況利用等邊三角形的性質(zhì)求出PD與AB的關(guān)系，然后判斷出只有情況③是合適的，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度數(shù)；
（3）先根據(jù)勾股定理求出AC的長度，根據(jù)準(zhǔn)外心的定義，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三種情況，根據(jù)三角形的性質(zhì)計算即可得解．
點(diǎn)評：本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，讀懂題意，弄清楚準(zhǔn)外心的定義是解題的關(guān)鍵，根據(jù)準(zhǔn)外心的定義，要注意分三種情況進(jìn)行討論．