Question

如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒k個(gè)單位長(zhǎng)的速度，沿折線BA-AD-DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)F以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)同時(shí)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，△EBF的面積為y，已知y與t的函數(shù)關(guān)系如圖2所示．
請(qǐng)根據(jù)圖中的信息，解答下列問題：
（1）點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到A、D兩點(diǎn)時(shí)，y的值分別是______和______；
（2）求BC和CD的長(zhǎng)；
（3）求點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度k；
（4）當(dāng)t為何值時(shí)，△EBF與梯形ABCD的面積之比是1：3．

Answer 1

解：（1）點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到A、D兩點(diǎn)時(shí)，在圖2中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是M，N兩點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)的值是：7和4；
（2）當(dāng)t=2.5秒時(shí)，△EBF的面積為y=•（BC-CF）•CD=7，
即：（BC-）•CD=7．
當(dāng)t=4秒時(shí)，△EBF的面積為y=•（BC-CF）•CD=4，
即：（BC-4）•CD=4．
∴…6分
（3）法一：
∵BC=6，點(diǎn)F的速度是每秒1個(gè)單位，
∴BC=6，
∴點(diǎn)E從D運(yùn)動(dòng)到C用時(shí)為6-4=2秒，
又∵CD=4，
∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位．…9分
法二：如圖，過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，
∵AB=2.5k，AD=1.5k，∴BG=6-1.5 k，
在Rt△ABG中，4²+（6-1.5k）²=（2.5k）²．
∴k₁=2，k₂=-6.5（不合題意舍去），
即點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位．
（4）∵k=2，∴AD=3，AB=5，∴S_△EBF=6，S_梯形ABCD=18．
由題意可知運(yùn)動(dòng)過程中有兩個(gè)時(shí)刻△EBF的面積等于6．
①當(dāng)E在AB上時(shí)，過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，
△EBH∽△ABG，
∴=，
∴EH=t，
∴×t×（6-t）=6，解得t=，∵t≤2.5．
∴t=
②當(dāng)E在AD上時(shí)，×4×（6-t）=6，解得t=3．
綜上所述，當(dāng)t=或t=3秒時(shí)，△EBF與梯形ABCD的面積之比為1：3．
分析：（1）根據(jù)圖2可以得到OM表示E在BA段，MN表示E在AD段，NP表示E在DC段，據(jù)此即可判斷；
（2）根據(jù)E在A點(diǎn)和D點(diǎn)時(shí)，△EBF的面積分別是7和4，利用面積公式即可得到關(guān)于CD和BC的方程組，即可求得BC和CD的長(zhǎng)；
（3）根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間以及（2）中求得的運(yùn)動(dòng)距離，即可求得運(yùn)動(dòng)的速度；
（4）首先求得梯形ABCD的面積，當(dāng)E在AB上時(shí)，過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，△EBH∽△ABG，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可得到關(guān)于時(shí)間的方程，從而求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確利用題目中的圖形的關(guān)系，轉(zhuǎn)化成方程問題求解是關(guān)鍵．